Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen polynomiyhtälö yleisesti

Videon aiheena on toisen asteen yhtälön määritteleminen ja ratkaisun havainnollistamista GeoGebran avulla; muotoa $ax^2+bx+c=0$ olevan yhtälön ratkaisuja ovat siis ne muuttujan $x$ arvot, joiden kohdalla paraabeli $y=ax^2+bx+c$ leikkaa $x$-akselin (eli on korkeusarvoltaan nolla). Huomaa em. kahdessa yhtälössä kirjaimen $y$ ja luvun nolla välinen yhteys!

Muistiinpanot

MAA2, Toisen asteen yhtälö
Toisen asteen yhtälö
MAA2, Toisen asteen yhtälö, tulostusversio
Toisen asteen yhtälö, tulostusversio

Vaillinainen toisen asteen yhtälö: tapaus b=0

Kyseessä on siis toisen asteen yhtälö, joka on muodossa $ax^2+bx+c=0$ tai voidaan muokata siihen muotoon. Jos tällöin ensimmäisen asteen termin kerroin $b=0$ niin yhtälö pelkistyy muotoon $ax^2+c=0$. Tämän yhtälöna ratkaisuna on $x=\pm \sqrt{\tfrac{-c}{a}}$ olettaen, että neliöjuuren sisällä oleva osa $\tfrac{-c}{a}\geq 0$.

Muistiinpanot

MAA2, Toisen asteen yhtälö, kun b=0
Toisen asteen yhtälö, kun b=0
MAA2, Toisen asteen yhtälö, kun b=0, tulostusversio
Toisen asteen yhtälö, kun b=0; tulostusversio

Vaillinainen toisen asteen yhtälö: tapaus c=0

Kuten edellä, mutta jos nyt vakiotermi $c=0$ niin yhtälö $ax^2+bx+c=0$ saadaan muotoon $ax^2+bx=0$. Ottamalla yhteinen tekijä $x$ saadaan, että $x(ax+b)=0$ ja tällöin tulon nollasäännön nojalla joko $x=0$ tai $ax+b=0$. Jälkimmäinen voidaan ratkaista tutuilla keinoilla loppuun.

Muistiinpanot

MAA2, Toisen asteen yhtälö, kun vakiotermi c=0
Toisen asteen yhtälö, kun vakiotermi c=0
MAA2, Toisen asteen yhtälö, kun vakiotermi c=0, tulostusversio
Toisen asteen yhtälö, kun vakiotermi c=0; tulostusversio

3 vastausta artikkeliin “Toisen asteen yhtälö”

  1. Krista

    Olenko laskenut tämän jotenkin hassusti, vai voiko c = 0 valinnaiset 2. asteen yhtälöt laskea suoraan x = -b/a muistikaavalla?

    x^2 + b/a*x + c/a = 0, missä c = 0
    x^2 + b/a*x + 0 = 0
    x^2 + b/a*x = 0 || : x
    x + b/a = 0 || – b/a
    x = -b/a

    Ja kiitos vielä näistä videoista! Mielestäni tämä on helpoin tapa oppia! 🙂

    Vastaa
    • Krista

      Hups! Jäi näköjään ensimmäinen askel kirjoittamatta! 🙂 Eli:

      ax^2 + bx + c = 0 || : a
      x^2 + b/a*x + c/a = 0

      Vastaa
      • Moikka Krista!
        Jos yhtälössä ax^2 + bx + c = 0 pätee, että c=0 niin yhtälö sievenee muotoon ax^2 + bx = 0. Tämän jälkeen yhteisen tekijän x ottamalla saadaan, että x(ax+b)=0. Nyt tulon nollasäännön nojalla todetaan, että on oltava joko x=0 tai ax+b=0. Jälkimmäisestä saadaan, että ax=-b eli x=-b/a.

        Vastaa

Jätä vastaus

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>