Yhtälöryhmät

Tässä käsitellään vain lineaarisia yhtälöryhmiä eli sellaisia yhtälöryhmiä, joissa kaikki yhtälöt ovat ensimmäisen asteen polynomiyhtälöitä (esim. $ax+by=c$ tai $y=kx+d$) tai ne voidaan muokata tähän muotoon. Kuitenkin on myös olemassa epälineaarisia yhtälöryhmiä. Esimerkiksi ympyrän ja suoran leikkauspisteiden koordinaatit voidaan ratkaista yhtälöryhmän avulla, jossa toinen kahdesta yhtälöstä (nimittäin ympyrän yhtälö, $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, käsitellään myöhemmin) on epälineaarinen.

Yhtälöryhmien graafinen tarkastelu

Tarkastellaan yhtälöryhmien symbolisen ja graafisen esityksen sekä yhtälöryhmän ratkaisun välistä yhteyttä kaksi- ja kolmiulotteisissa tilanteissa.

Muistiinpanot

Yhtälöryhmän ratkaiseminen graafisesti
Yhtälöryhmän ratkaiseminen graafisesti
Yhtälöryhmän ratkaiseminen graafisesti, tulostusversio
Yhtälöryhmän ratkaiseminen graafisesti, tulostusversio

Yhtälöryhmän ratkaiseminen yhteenlaskukeinolla

Ratkaistaan kolmen yhtälön, kolmen tuntemattoman yhtälöryhmä yhteenlaskukeinolla. Alussa on pohjustusta aiheesta kahden yhtälön, kahden muuttujan tapauksessa. Varsinainen esimerkki alkaa noin kohdasta 3:35

Muistiinpanot

Yhtälöryhmän ratkaiseminen yhteenlaskukeinolla
Yhtälöryhmän ratkaiseminen yhteenlaskukeinolla
Yhtälöryhmän ratkaiseminen yhteenlaskukeinolla, tulostusversio
Yhtälöryhmän ratkaiseminen yhteenlaskukeinolla, tulostusversio

Yhtälöryhmän ratkaiseminen sijoituskeinolla

Ratkaistaan kolmen yhtälön, kolmen tuntemattoman yhtälöryhmä sijoituskeinolla.

Muistiinpanot

Yhtälöryhmän ratkaiseminen sijoituskeinolla
Yhtälöryhmän ratkaiseminen sijoituskeinolla
Yhtälöryhmän ratkaiseminen sijoituskeinolla, tulostusversio
Yhtälöryhmän ratkaiseminen sijoituskeinolla, tulostusversio

Lentokone-esimerkki

Lentokone lentää

  1. kahdessa tunnissa y-suuruiseen myötätuuleen puolella lastilla 1780 km,
  2. tunnissa y-suuruiseen vastatuuleen täydellä lastilla 820 km ja
  3. kolmessa tunnissa 2y-suuruiseen vastatuuleen 70% lastilla 2388 km.

Oletetaan, että lentokoneen moottorin tehot pidetään samalla tasolla kussakin tilanteessa ja että ilmanvastus ja lastin vaikutus lentonopeuteen ovat lineaarisia (mitä ne eivät tarkkaan ottaen ole, mutta näin saadaan ainakin arvioitua tilannetta).

Ratkaise a) lentokoneen nopeus tyynessä ilmassa, b) tuulen nopeus y ja täyden lastin vaikutus lentonopeuteen.

Muistiinpanot

Yhtälöryhmäsovellus (lentokonelasku)
Yhtälöryhmäsovellus (lentokonelasku)
Yhtälöryhmäsovellus (lentokonelasku), tulostusversio
Yhtälöryhmäsovellus (lentokonelasku), tulostusversio

3 vastausta artikkeliin “Yhtälöryhmät”

  1. Opiskelija

    Osaisipa meidän lukion opettaja olla niin hauskoja ja tehokkaita, kuin sinä. Kiitos tästäkin videosta!

    Vastaa
  2. Tom

    Olisko mahdollista saada muutama esimerkki jossa kaksi yhtälöä on saman arvoisia?
    esimerkiksi:
    x -y -z = -2
    3x +y -z = 8
    2x +4y +z = 17

    Vastaa

Jätä vastaus artikkeliin Tom

Napsauta peruuttaaksesi vastauksen.

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>