Derivaatan sovelluksia polynomi- ja rationaalifunktioille

Jonnen energiajuomatehdas

Jonne, Mage, Viljami ja Joni päättävät perustaa oman energiajuomatehtaan. Ensin Jonne haluaa selvittää kuinka suuri puolen litran tölkin pohjan halkaisijan (tai säteen) on oltava, jotta tölkkien valmistuksessa kuluu mahdollisimman vähän alumiinia.

Energiajuoman myyntihinnan optimointi

Jonne optimoi ”Jonne Drinks Energy” -juoman hintaa Viljamin veljen avustuksella niin, että tuotto olisi mahdollisimman suuri.

Aitauksen pinta-alan optimointi (aitaa rajallisesti)

Rakennetaan suorakulmion muotoinen kotieläinaitaus niin, että talon seinä muodostaa aitauksen yhden sivun. Aitaa on käytettävissä a metriä. Kuinka aitauksen mitat on valittava, jotta aitauksen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri?

Jatkuvan ja derivoituvan funktion suurin ja pienin arvo (Fermat’n lause)

Seuraavaa tulosta kutsutaan joskus Fermat’n lauseeksi. Fermat’n lausetta voidaan hyödyntää ääriarvotehtävissä kulkukaavion sijasta:

Mikäli funktio (nimeltään vaikkapa f) on

  1. jatkuva suljetulla välillä (esim. $[a,b]$) ja
  2. derivoituva vastaavalla avoimella välillä (siis $]a,b[$)

niin funktion suurin ja pienin arvo määrittelyjoukossa ($[a,b]$) löydetään joukosta $\{f(a), f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_n), f(b)\}$, missä $x_0, x_1, \ldots, x_n$ ovat funktion f derivaatan nollakohtia. Riittää siis tutkia funktion arvoa välin päätepisteissä ja välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.

YO K2011/5

Selvitetään funktion $P(x) = x(x+3)(5-x)$ suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [-1,5].

YO K82/7a

Ratkaistaan K82/7a YO-koetehtävä, jossa suoran ympyräkartion sisään asetetaan suora ympyrälieriö. Lieriön pohjaympyrän säde täytyy määrittää siten, että sen lieriön yhteispinta-ala on mahdollisimman suuri.

8 vastausta artikkeliin “Derivaatan sovelluksia polynomi- ja rationaalifunktioille”

  1. kake

    kevään 1982 tehtävässä olisi varmaan parempi kuvata lieriön sädettä jollain muulla kirjaimella, kun R on jo käytössä (vaikkakin isona kirjaimena). Lisäksi kyseisessä tehtävässä A(R)=2πR² eikä 0, kuten itse laskit.

    Vastaa
    • Janne (Opetus.tv)

      Morjes kake! Ymmärsit tuon 12:20 paikkeilla olevan laskun A(R) väärin; siitä tulee kyllä nolla. Näin siksi, että laskussa oleva funktio A on lieriön säteen (pieni r) mukaan määritelty funktio ja jos lieriön säde (r) on yhtä suuri kuin kartion pohjaympyrän säde (R) niin tällöin lieriön ala on: A(R) = … = 0.

      Tuntuisi, että sulla menee tässä yhtäsuuruusmerkin käyttö sijoitusoperaattorina ja toisaalta vertailuoperaattorina sekaisin. Tein laskun ko. kohdassa vertailun, kun taas kommentissasi viittaa sijoitukseen (lausekkeenmäärittelyyn).

      Vastaa
  2. Tällähän nyt ei sinänsä ole merkitystä ratkaisuun mutta eikös kevään 82 tehtävässä lieriön pinta-ala ole 2kertaa pohjaympyrän ala, eikä nolla, jos sen korkeus on nolla ja säde R.

    Vastaa
  3. Samuli

    Palaan vielä tähän A(R)-asiaan. Kyllä pitäisi olla A(R) = 2πR². Tämän saa suoralla sijoituksella, ja onhan se tilanteen geometriaakin pohtimalla selvä: Kun r lähestyy lukua R, lähestyvät ieriön pohjien alat kummatkin lukua πR² ja vaipan ala lähestyy nollaa. Tällöin kokonaisala lähestyy lukua 2πR².

    Vastaa
  4. KannLu

    Kovasti muistuttaa tuo Es tehtävä yhtä tämän kevään yo tehtävää 😀

    Vastaa
  5. virhe

    Saako tuossa toisessa hintaoptimointitehtävässä tosiaan jakaa seuraavassa tilanteessa:

    x(y-5) = 0 |:x

    y-5 = 0

    eikö olisi oikeampaa käyttää tulon 0-sääntöä?

    Vastaa
    • ukko1998

      x(y-5) = 0
      Tulon nollasäännöllä:
      x = 0 tai y = 5
      Mutta jos määrittelyjoukkoon ei kuulu x = 0,
      ja x on realiluku, niin sillon näin voi tehdä 🙂

      Vastaa

Jätä vastaus

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>