Funktion kasvavuus ja vähenevyys

Teoriaa kasvavuudesta ja vähenevyydestä

Kasvava funktio kulkee ”ylämäkeen” ja vähenevä funktio ”alamäkeen” (olettaen, että käytössä on tuttu xy-koordinaatisto, jossa x-akselin arvot kasvavat oikealle ja y-akselin arvot kasvavat ylöpäin). Käsitellään myös termit ”aidosti kasvava” ja ”aidosti vähenevä” sekä termi ”monotoninen funktio”. Kasvavuutta ja vähenevyyttä tarvitaan oleellisena apuna esimerkiksi epäyhtälöitä ratkaistaessa.

Funktion kasvavuus ja vähenevyys
Funktion kasvavuus ja vähenevyys
Funktion kasvavuus ja vähenevyys, tulostusversio
Funktion kasvavuus ja vähenevyys, tulostusversio

Polynomifunktioiden aito kasvavuus ja vähenevyys

Käsitellään aitoa kasvavuutta tuttujen 1. ja 2. asteen polynomifunktioiden näkökulmasta, ts. millä ehdolla nämä funktiot ovat aidosti kasvavia/väheneviä. Osaatko tähän asti osaamasi perusteellä päätellä lopputuloksen?

Polynomifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys
Polynomifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys
Polynomifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys, tulostusversio
Polynomifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys, tulostusversio

Potenssifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys

Tutkitaan potenssifunktioiden $f(x) = x^n$ kasvavuutta ja vähenevyyttä. Näitä tietoja voidaan hyödyntää esimerkiksi epäyhtälöitä ratkaistaessa. Mikäli $n \in 1, 3, 5, \ldots$ on funktio $f$ aidosti kasvava. Jos taas $n \in 2, 4, 6, \ldots$ on funktio $f$ aidosti vähenevä, kun $x<0$ ja aidosti kasvava kun $x>0$.

Esimerkki: aidon kasvavuuden hyödyntäminen epäyhtälön ratkaisussa

Ratkaistaan epäyhtälö $x^6 < (-2x+3)^3$ hyödyntämällä potenssifunktion $x^3$ aitoa kasvavuutta ja havainnollistetaan sen jälkeen tilannetta vielä GeoGebra-ohjelmalla.

Kasvavuuden hyödyntäminen ey-ratkaisussa
Kasvavuuden hyödyntäminen ey-ratkaisussa
Kasvavuuden hyödyntäminen ey-ratkaisussa, tulostus
Kasvavuuden hyödyntäminen ey-ratkaisussa, tulostus

3 vastausta artikkeliin “Funktion kasvavuus ja vähenevyys”

  1. Opiskelija

    Hei, pitäisikö 1. videon kohdassa 7:10 olla X1 > X2?

    Vastaa
    • Moikka, ei pitäisi, videossa on ihan oikein. Eli vähenevä funktio on sellainen, jossa syötteiden kasvaminen aiheuttaa funktion arvojen pienenemisen (tai korkeintaan, että funktion arvot eivät suurene, ts. voivat pysyä samoina).

      Vastaa
  2. Latebloomer

    Moi,
    Koskien videota 4: Eikö x^6 kuvaaja ole u-mallinen ja siten ei aidosti kasvava? Kuinka se voi muuttua aidosti kasvavaksi muodossa (x^2)^3?

    Vastaa

Jätä vastaus

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>