Sini ja kosini yksikköympyrässä

Yksikköympyrä on ympyrä, jonka säde on 1 ja jonka keskipiste sijaitsee origossa.

Teoriaa: graafinen tarkastelu

Aiemmin sini, kosini ja tangentti on määritelty suorakulmaisen kolmion ominaisuuksina. Tällöin kuitenkin ajaudutaan ongelmiin mikäli haluttaisiin laskea yli 90° suuruisten kulmien sinin, kosinin ja tangentin arvoja. Tässä videossa määritellään yksikköympyrän avulla sini ja kosini myös yli 90° suuruisille kulmille.

Huomaa, että tässä esitettävä määritelmä sinille ja kosinille on yhtenevä yläkoulusta tutun määritelmän kanssa silloin kun ollaan I neljänneksessä.

Koordinaatiston neljännekset sekä sinin ja kosinin merkkikaaviot

Tuttu tason xy-koordinaatisto on tapana numeroida roomalaisilla numeroilla I-IV neljänneksiin. Motiivina numeroinnille on puhumisen helpottuminen.

Rakennetaan tämän jälkeen sinin ja kosinin merkkikaaviot, jotka ilmaisevat milloin sini ja toisaalta kosini saa positiivisia/negatiivisia arvoja. Samat merkkikaaviot löytyvät myös taulukkokirjasta.

Sinin ja kosinin arvojoukko ja jaksollisuus

Päätellään yksikköympyrän, että sinin ja kosinin arvojoukot ovat [-1,1]. Lisäksi havaitaan, että sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita eli että asteina esitettynä $\sin\alpha = \sin(\alpha + n\cdot 360^\circ)$ ja $\cos\alpha = \cos(\alpha + n\cdot 360^\circ)$, kun $n\in\mathbb{Z}$. Radiaaneina sama asia olisi $\sin\alpha = \sin(\alpha + n\cdot 2\pi)$ ja $\cos\alpha = \cos(\alpha + n\cdot 2\pi)$. Huomaa, että muuttujaa eli kulman suuruutta voitaisiin myös merkitä α:n sijasta x:llä.

Trigonometrian peruskaava

Johdetaan Pythagoraan lauseen ja yksikköympyrätarkastelun avulla trigonometrian peruskaava $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Huomaa, että muuttujana voitaisiin käyttää x:n sijasta myös α:aa.

Kaava voitaisiin johtaa myös origokeskisen, 1-säteisen ympyrän yhtälön kaavan $x^2+y^2=1$ kautta.

Esimerkki trigonometrian peruskaavan hyödyntämisestä

Ratkaistaan cos α, kun sin α = 4/5 ja tiedetään, että α on π/2 ja π radiaanin välillä oleva kulma. Hyödynnetään ratkaisussa trigonometrian peruskaavaa sin²α + cos²α = 1.

Toinen esimerkki trigonometrian peruskaavan hyödyntämisestä

Kolmion sivujen pituudet ovat 7, 8 ja 13. Ratkaise kolmion suurimman kulman sinin arvo. Tehtävässä hyödynnetään trigonometrian peruskaavan lisäksi kosinilausetta.

Tämän kurssin videoiden tuottamista on tukenut Otavan Opisto

11 vastausta artikkeliin “Sini ja kosini yksikköympyrässä”

  1. pishko

    Apua! koeviikko on jo perjantaina 5.4. Saako kaikki videot ennen sitä. eli MAA9

    Vastaa
    • jcederberg

      Morjes, tulee sen verran kuin ehdin tuohon mennessä tehdä

      Vastaa
  2. inka

    Moikka ja kiitos hyvistä videoista! Viimehetken paniikkikertaukseen enemmän kuin loistavia 😀 Keep up the good work!

    Vastaa
  3. suuttunut pitkän matikan ryhmä

    Miksi neljännessä videossa kulma alpha onkin sivua b vastainen kulma, vaikka ensimmäisessä videossa sanoit, että sen pitäisi olla sivua a vastainen kulma? (sa)tan(a)!

    Vastaa
    • Janne (Opetus.tv)

      Se on vahingossa mennyt noin päin. Asiasisällön ymmärrettävyys ei sinänsä tuosta epäjohdonmukaisuudesta juurikaan kärsi. Tsemppiä opiskeluun!

      Vastaa
  4. ansku

    Ihan huippuja nää videot! Tosi paljon apua, koska tunneilla ei ymmärrä mitään. Iso kiitos!

    Vastaa
    • Kiitos Ansku! Oppitunneilla on tosiaan se haaste, että ei pysty itse määrittämään etenemistahtia mikäli työskennellään perinteisellä työskentelytavalla.

      Vastaa
  5. Jossu

    Siis mikä kaava tuon videon 4.2 alussa on käytössä, kun selvitetään cosini alpha? 🙂

    Vastaa
  6. Jussi paidallinen

    Millainen vastaus saadaan, kun kerrotaan tani ja kosini?

    Sininen

    *Naurua*

    *Aploodeja*

    Vastaa

Jätä vastaus artikkeliin suuttunut pitkän matikan ryhmä

Napsauta peruuttaaksesi vastauksen.

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>