Sini ja kosini yksikköympyrässä

Yksikköympyrä on ympyrä, jonka säde on 1 ja jonka keskipiste sijaitsee origossa.

Teoriaa: graafinen tarkastelu

Aiemmin sini, kosini ja tangentti on määritelty suorakulmaisen kolmion ominaisuuksina. Tällöin kuitenkin ajaudutaan ongelmiin mikäli haluttaisiin laskea yli 90° suuruisten kulmien sinin, kosinin ja tangentin arvoja. Tässä videossa määritellään yksikköympyrän avulla sini ja kosini myös yli 90° suuruisille kulmille.

Huomaa, että tässä esitettävä määritelmä sinille ja kosinille on yhtenevä yläkoulusta tutun määritelmän kanssa silloin kun ollaan I neljänneksessä.

Koordinaatiston neljännekset sekä sinin ja kosinin merkkikaaviot

Tuttu tason xy-koordinaatisto on tapana numeroida roomalaisilla numeroilla I-IV neljänneksiin. Motiivina numeroinnille on puhumisen helpottuminen.

Rakennetaan tämän jälkeen sinin ja kosinin merkkikaaviot, jotka ilmaisevat milloin sini ja toisaalta kosini saa positiivisia/negatiivisia arvoja. Samat merkkikaaviot löytyvät myös taulukkokirjasta.

Sinin ja kosinin arvojoukko ja jaksollisuus

Päätellään yksikköympyrän, että sinin ja kosinin arvojoukot ovat [-1,1]. Lisäksi havaitaan, että sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita eli että asteina esitettynä $\sin\alpha = \sin(\alpha + n\cdot 360^\circ)$ ja $\cos\alpha = \cos(\alpha + n\cdot 360^\circ)$, kun $n\in\mathbb{Z}$. Radiaaneina sama asia olisi $\sin\alpha = \sin(\alpha + n\cdot 2\pi)$ ja $\cos\alpha = \cos(\alpha + n\cdot 2\pi)$. Huomaa, että muuttujaa eli kulman suuruutta voitaisiin myös merkitä α:n sijasta x:llä.

Trigonometrian peruskaava

Johdetaan Pythagoraan lauseen ja yksikköympyrätarkastelun avulla trigonometrian peruskaava $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Huomaa, että muuttujana voitaisiin käyttää x:n sijasta myös α:aa.

Kaava voitaisiin johtaa myös origokeskisen, 1-säteisen ympyrän yhtälön kaavan $x^2+y^2=1$ kautta.

Esimerkki trigonometrian peruskaavan hyödyntämisestä

Ratkaistaan cos α, kun sin α = 4/5 ja tiedetään, että α on π/2 ja π radiaanin välillä oleva kulma. Hyödynnetään ratkaisussa trigonometrian peruskaavaa sin²α + cos²α = 1.

Toinen esimerkki trigonometrian peruskaavan hyödyntämisestä

Kolmion sivujen pituudet ovat 7, 8 ja 13. Ratkaise kolmion suurimman kulman sinin arvo. Tehtävässä hyödynnetään trigonometrian peruskaavan lisäksi kosinilausetta.

Tämän kurssin videoiden tuottamista on tukenut