Lukujonot

Käsitellään tässä aritmeettisia ja geometrisia lukujonoja, joita tarvitaan työkaluina myöhemmin mm. koronkorko- ja lainalaskuissa.

Johdanto

Lukujonot ovat tuttuja esim. ”Mikä luku tulee seuraavaksi?” -tyylisistä arvoituksista. Lukujonoja nimetään usein pienillä kirjaimilla a, b, c, … ja tällöin esim. lukujonon a termit ensimmäisestä alkaen olisivat a₁, a₂, a₃, … Joskus jonon jäsenten numerointi voidaan aloittaa nollasta ykkösen sijaan, mutta näiden videoiden yhteydessä nollasta alkavalle indeksoinnille ei ole perusteltuja syitä.

Muistiinpanot johdannosta

Johdanto lukujonoihin

Johdanto lukujonoihin, tulostusversio

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono on lukujono, jossa kahden peräkkäisen jonon termin välinen erotus on aina vakio. Esimerkiksi -1, 2, 5, 8, 11, … on aritmeettinen lukujono, sillä peräkkäisten termien erotus on aina 3. Termien erotusta kutsutaan usein differenssiksi, $d = a_n - a_{n-1}$

Muistiinpanot aritmeettisista lukujonoista

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono, tulostusversio

Aritmeettisen lukujonon summa

Johdetaan aritmeettisen lukujonon summan kaava: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$

Muistiinpanot aritmeettisen lukujonon summasta

Aritmeettisen lukujonon summa

Aritmeettisen lukujonon summa, tulostusversio

Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono on lukujono, jossa kahden peräkkäisen termin osamäärä (eli jakolaskun tulos) on aina vakio. Esimerkiksi lukujono 2, 4, 8, 16, … on geometrinen, sillä kahden peräkkäisen termin osamäärä on aina 2. Geometrisen lukujonon suhdeluku q on siis: $q = \frac{a_n}{a_{n-1}}$

Muistiinpanot geometrisista lukujonoista

Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono, tulostusversio

Geometrisen lukujonon summa

Tarinan mukaan shakki-pelin keksinyt intialainen matemaatikko sai esittää hallitsijalleen toiveen palkkiosta; hallitsija näet mieltyi peliin kovin. Kun keksijä esitti toiveensa, kummaksui hallitsija pyynnön ”vähäpätöisyyttä”…mutta kuinka kävikään…

Geometrisen lukujonon summan kaava on: $S_n = a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$ , missä $q = \frac{a_n}{a_{n-1}}$