Teoriaa
Usein funktioita derivoitaessa tarvitsee hyödyntää taulukkokirjasta useampaa kaavaa saman derivoinnin aikaansaamiseksi. Esitetään logaritmifunktioihin liittyen yleinen derivointikaava ja kirjoitetaan sen erikoistapauksina näkyviin taulukkokirjoissa esiintyvät kaavat. Kuitenkin on aina parempi, jos osaa soveltaa taulukkokirjan kaavoja yhdistelemällä sen sijaan, että opettelisi kaavoja ulkoa.
Muistiinpanot
Esimerkkejä
- 0:18 Derivoidaan: $\ln 2x$
- 2:15 Derivoidaan: $\log_5 x^2$
- 5:20 Derivoidaan: $x^x$
Muistiinpanot
Sovellusesimerkki (Cessna 152)
Lyhyt esimerkki lentokoneen nousunopeudesta, esimerkkitapauksena Cessna 152 -pienlentokone.
Muistiinpanot
Osaisitko antaa neuvoa tämän yhtälön kanssa ln(2x-1)=0.5ln(x+1) ?
Joo, 0.5ln(x+1) voi kirjottaa muodossa ln((x+1)^0.5). Nyt koska logaritmi on aidosti monotoninen funktio ja koska alkuperäisen yhtälön molemmilla puolilla on ln(…) niin myös argumenttien täytyy olla yhtä suuret. Siis saadaan, että: 2x-1=(x+1)^0.5.
Kun muistat todeta, että logaritmin argumentin täytyy olla positiivinen (ymmärräthän miksi sen pitää olla niin?) ja sillä perusteella yhtälön molemmat puolet on positiiviset (millä x:n arvoilla näin on?) niin sen jälkeen toiseen potenssiin korottamalla ja toisen asteen yhtälön kautta toi menee maaliin.
Suosittelen piirtämään kuvaajan myös alkuperäisen yhtälön vas. ja oik. puolen lausekkeista ja katsomaan mitä ratkaisu tarkoittaa kuvan kannalta. Tai ehkä kannattaa jopa aloittaa kuvan piirtämisellä.
Tämä ainakin meni oikein 🙂 kiitos sinulle!
Tai tämän.. Määritä käyrän y=lnx pienin etäisyys suorasta y=x+1
Jos käyrät leikkaavat ni pienin etäisyys on nolla. En kokeillut, mutta pointti on varmaan, että ne eivät leikkaa, missä tapauksessa tilannetta voi lähestyä esim. näin:
1. Määritä käyrälle y=ln(x) pisteen (x, ln(x)) (merkitään vaikka A:lla) kautta piirretyn tangenttisuoran normaalin (eli kohtisuoran) yhtälö. 2. Määritä sen jälkeen em. normaalisuoran ja suoran y=x+1 leikkauspisteen lauseke (merkitään sitä vaikka B:llä).
3. Viimeisenä määritä janan AB pituuden lauseke ja määritä derivaatan avulla janan pituuden minimiarvo.
Tätä en saanut kyllä mitenkään oikein.. AB lauseketta en saanut muodostettua..