Teoria-taustaa
Käsitellään teoriataustaa eksponenttiyhtälöiden ratkaisemiseen liittyen. Yleensä eksponenttiyhtälöitä ja -epäyhtälöitä ratkaistaan logaritmeja hyödyntämällä, mutta koska logaritmia ei vielä ole käsitelty, käydään ensin asiaa läpi ilman logaritmien apua ymmärryksen syventämiseksi.
Muistiinpanot
![Eksponenttiyhtälöiden teoriaa Eksponenttiyhtälöiden teoriaa](https://opetus.tv/files/uploads/maa8-11a-eksponenttiyhtalon-teoriaa-150x150.jpg)
![Eksponenttiyhtälöiden teoriaa, tulostus Eksponenttiyhtälöiden teoriaa, tulostus](https://opetus.tv/files/uploads/maa8-11a-eksponenttiyhtalon-teoriaa_bw-150x150.jpg)
Esimerkkejä eksponenttiyhtälöistä ilman logaritmia
Käsitellään ensin ohjeet siitä kuinka eksponenttiyhtälöitä ratkaistaan ilman logaritmeja. Tämän jälkeen tehdään neljä esimerkkiä aiheesta:
0:15 Ohjeet muotoa $a^x=b$ olevien yhtälöiden ratkaisemiseen ilman logaritmeja
3:13 Esimerkki a: $2^{3x} = 64$
5:35 Esimerkki b: $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{27}{8}$
8:48 Esimerkki c: $5^{3-x} = 125 \cdot 25^{\tfrac{1}{2}x+2}$
11:50 Esimerkki d: $2^{2x+1} – 9\cdot 2^x – 4 = 0$
Muistiinpanot
![Eksponenttiyhtälö ilman logaritmia Eksponenttiyhtälö ilman logaritmia](https://opetus.tv/files/uploads/maa8-11b-esimerkkeja-eksponenttiyhtaloista-150x150.jpg)
![Eksponenttiyhtälö ilman logaritmia, tulostus Eksponenttiyhtälö ilman logaritmia, tulostus](https://opetus.tv/files/uploads/maa8-11b-esimerkkeja-eksponenttiyhtaloista_bw-150x150.jpg)
Esimerkkejä eksponenttiepäyhtälöistä ilman logaritmia
Eksponenttiepäyhtälöiden ratkaiseminen ilman logaritmeja menee samoilla periaatteilla kuin vastaavien yhtälöidenkin ratkaiseminen. Ainoa tärkeä ero epäyhtälömerkin suunnan kääntyminen kantaluvun arvosta riippuen (ks. videolta tarkemmin).
Muistiinpanot
![Eksponenttiepäyhtälö ilman logaritmia Eksponenttiepäyhtälö ilman logaritmia](https://opetus.tv/files/uploads/maa8-11c-esimerkkeja-eksponenttiepayhtaloista-150x150.jpg)
![Eksponenttiepäyhtälö ilman logaritmia, tulostus Eksponenttiepäyhtälö ilman logaritmia, tulostus](https://opetus.tv/files/uploads/maa8-11c-esimerkkeja-eksponenttiepayhtaloista_bw-150x150.jpg)
Mitäs sitten jos c (kun funktio on muotoa c^x) onkin negatiivinen?
Yleisen sopimuksen mukaan eksponenttifunktio on määritelty vain positiivisilla kantaluvuilla johtuen siitä, että negatiivisten kantalukujen tapauksessa päädytään nopeasti huonosti määriteltävissä oleviin tilanteisiin.
Esimerkkinä edellisestä: jos c=-16 niin tällöin jos olisi x=1/2=2/4 niin (-16)^(1/2) ei ole määritelty (reaalilukujen joukossa), mutta (-16)^(2/4) = 4 mikäli käytetään laskujärjestystä ((-16)^2)^(1/4). Eri laskujärjestystä käytettäessä jälkimmäinen ei myöskään ole määritelty (reaalilukujen joukossa). Kuitenkin koska 1/2=2/4 niin olisi toivottavaa, että lopputulos olisi aina sama.
Kuitenkin jos hyväksytään, että kantaluku c on kompleksiluku, ei ongelmia synny ja tulos em. laskuista on yksikäsitteinen 0+4i=4i.
MIten on mahdollistä että 3-x muuttuu jotenkin yht äkkiä -2x. toisen videon c tehtävässä?
Siinä siirrellään termejä yhtälön molemmin puolin. Eli 3 siirtyy oikealle (vähennetään siitä 7:stä jolloin saadaan 4) ja oikealta siirtyy toinen x vasemmalle, eli tulee -x-x = -2x. Eli normaalia yhtälön ratkaisemista 🙂
Mistä tuo 2. asteen yhtälön Y saa arvokseen -9? (2. videolla, viimeinen lasku)