Vektorien summa ja erotus

Johdanto graafisesti tarkastellen

Vektorien summaa laskettaessa summattavat vektorit (nk. komponentit) asetetaan ”peräkkäin” ja resultanttivektori muodostuu ensimmäisen summattavan alkupisteestä jälkimmäisen/viimeisen summattavan loppupisteeseen.

Vektorien erotus määritellään samoin kuin vektorien summa kun huomataan, että $\overline{a}-\overline{b} = \overline{a}+(-\overline{b})$.

Vektorien yhteenlaskusääntöjä

Käsitellään miksi vektoreiden yhteenlaskulle pätee vaihdantalaki ($\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}$) ja liitäntälaki ($(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c} = \overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})$). Lisäksi tarkastellaan lyhyesti nollavektorin ja vastavektorin lisäämistä. Huomaa, että samat laskusäännöt pätevät myös vektorien erotukselle kun muistetaan, että $\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+(-\overline{b})$.

Vektorin esittäminen toisten vektorien avulla

Tarkastellaan kuinka vektori voidaan esittää toisten vektorien avulla ja tehdään se kahdella eri tavalla.

Lentokone-esimerkki

Vektorien summaa ja erotusta hyödynnetään mm. tutkittaessa kappaleiden liikkeitä virtaavissa väliaineissa. Videolla tutkitaan kuinka tuuli vaikuttaa lentokoneen lentosuuntaan.

  1. Lentokone lentää itään ja tuuli puhaltaa pohjoisesta. Mihin suuntaan kone päätyy lentämään?
  2. Millä vauhdilla kone lentää tuulen vaikutus huomioiden?
  3. Mihin suuntaan koneen tulisi lentää, jotta tuuli huomioiden päädyttäisiin suoraan itään?
  • Isabella

    Äh, hyviä videoita mutta vaikeimmista asioista ei. Katson silti.

    • Janne (Opetus.tv)

      Moikka, en oo vielä ennättänyt tehdä 🙂

      • Pirsku

        Voisitko tehdä videon yksikkövektorin laskemisesta?

        • Pirsku

          Okei jes kiitos!

        • Janne (Opetus.tv)

          Jeps, nyt on video aiheesta, ks. http://youtu.be/GqN-9L6rYvA tai tuolta ”Vektorin kertominen reaaliluvulla” -kohdasta 🙂

      • petter

        Melkein puoli vuotta sitten et ollut ”vielä” ennättänyt tehdä. Milloin ehtisit?

        • Janne (Opetus.tv)

          Pyrin tässä loppuvuoden mittaan tekemään lisää MAA5-videoita

  • lotta

    Haluisin videoo kolmiulotteisesta koordinaatistosta! Mikä on akselien suhde? Eli onko x-akselin ”yksi” yhden ruudun, y-aksein ”yksi” 1 ruutu vai 3 ruutua jne. Kiitos!

    • Moikka Lotta, silloin kun tein näitä videoita niin kunnollisia työkaluja kolmiulotteisten tilanteiden havainnollistamiseksi ei oikein ollut saatavilla. Sittemmin tilanne on muuttunut kun GeoGebraan on tullut hyvä 3D-tuki, mutta videoita en ole vielä ennättänyt tekemään loppuun asti. Mitä kysymykseesi perspektiivistä tulee niin usein on tapana piirtää akselit esim. 45 asteen kulmaan; oleellisinta on ajatus ja se, että näyttää suurinpiirtein oikealta.

  • Eedit

    Iso apu ollu näistä videoista. Kiitos paljon! 🙂

  • Anna

    Moi! Kiitos hyvistä videoista, pelastanut mun matikan opiskelun! 🙂 Mietin tässä, että onko tulossa vielä videota pistetulosta?

  • Marianne Miettinen

    Kiitti videoista, joskus koulussa joidenkin opettajien opetustyylit eivät vain sovi mulle. Onneks oot laittanu videoita, niin ymmärrän ainakin tärkeimmät asiat