Vektorin kertominen reaaliluvulla

Kuinka suunta ja pituus muuttuvat?

Tutkitaan kuinka vektorin kertominen reaaliluvulla vaikuttaa vektoriin graafisesti. Havaitaan, että positiivisella reaaliluvulla kertominen säilyttää suunnan, negatiivisella kertomalla saadaan tulokseksi vastakkaisuuntainen vektori. Kertoimen suuruus määrää myös kuinka paljon vektori ”venyy” tai ”kutistuu”.

Vektorien reaaliluvulla kertomiseen liittyviä merkintöjä

Merkintöjä liittyen vektorin kertomiseen reaaliluvulla: vektorien samansuuntaisuus kertoimen ollessa positiivinen, vastakkaissuuntaisuus kertoimen ollessa negatiivinen, vektorin pituus.

Vektorien liitäntälaki ja osittelulait

Käsitellään kuvallisesti havainnollistaen mitä tapahtuu kun vektoria kerrotaan reaaliluvulla kahdesti (liitäntälaki) ja toisaalta kuinka vektorien summa muuttuu kun summattavia vektoreita kerrotaan reaaliluvuilla (osittelulait).

Yksikkövektori ja sen muodostaminen

Yksikkövektori on annetun mielivaltaisen (ei nolla)vektorin kanssa samansuuntainen, mutta ykkösen mittainen vektori. Yksikkövektori saadaan muodostettua jakamalla vektori pituudellaan.

Vektorien yhdensuuntaisuuslause

Vektorien yhdensuuntaisuus: vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin kun on olemassa nollasta poikkeava reaaliluku, jolla kertomalla yksi vektori saadaan esitettyä toisen avulla $r$:llä kertomalla. Matemaattisesti tämä esitetään seuraavalla tavalla: $\overline{a} || \overline{b} \Leftrightarrow \overline{a} = r\overline{b}$, kun $r \neq 0$.

Esimerkkejä vektorien yhdensuuntaisuuslauseesta

Tehdään kaksi esimerkkiä vektorien yhdensuuntaisuudesta:

1. Osoita, että vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ ovat vastakkaissuuntaiset kun $2(\overline{a}-\overline{b}) = 5\overline{a}-\overline{b}$.
2. Millä kertoimen $s$ arvoilla vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ ovat samansuuntaiset, kun $2(\overline{a}+\overline{b}) = 3\overline{a}-s\overline{b}$ ?