Liikemäärä ja impulssi
Liikemäärän ja voiman impulssin esittely. Impulssin käyttö törmäysten analysoinnissa. Voimien suuruuksien ominaispiirteistä törmäyksissä. Newtonin II lain yhteys liikemäärän muutokseen ja impulssiin.
Liikemäärän säilyminen
Liikemäärän säilymislaki eristetylle systeemille. Systeemin ulkoiset ja sisäiset vuorovaikutukset. Liikemäärän säilyminen törmäyksissä. Massakeskipiste diskreetille ja jatkuvalle massajakaumalle. Voimien suhteellisista suuruuksista törmäysten aikana.
Epäelastiset törmäykset
Liikemäärän säilymislain käyttö epäelastisissa törmäyksissä, eli törmäyksissä, joissa systeemin sisäinen liike-energia ei säily. Epäelastiset törmäykset massakeskipistekoordinaatistossa. Autojen peräänajo. Räjähdykset, aseen rekyyli ja raketin toimintaperiaate (rakettiyhtälö).
Elastiset törmäykset
Liikemäärän ja energian säilymislakien soveltaminen elastisissa törmäyksissä yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa. Elastinen törmäys yhdessä ulottuvuudessa. Elastiset törmäykset eri massaisilla kappaleilla. Elastiset törmäykset kahdessa ulottuvuudessa ja niiden yleinen ratkaiseminen.
Moi! Kysymystä kimmoisiin törmäyksiin liittyen. Jos kappaleet kulkevat samaan suuntaan ja törmäävät kimmoisasti, jatkavatko ne aina kulkuaan samaan suuntaan? Vai onko joku massa/nopeussuhde jossa takaapäin tuleva kappale törmäyksen jälkeen vaihtaa suuntaa? Kiitos!
On. Kuten alla seuraava ratkaisukin osoittaa, kun takaapäin tulevan kappaleen massa on riittävän pieni suhteessa toisen kappaleen massaan, kimpoaa se takaisin.
Noudatetaan Wikipedian merkintöjä (kappaleiden massat m1 ja m2, nopeudet ennen törmäystä u1 ja u2 sekä nopeudet törmäyksen jälkeen v1 ja v2) sekä sovitaan lisäksi, että liikkeen positiivinen suunta on oikealle, ja että 1-indeksilliset suureet koskevat vasemmanpuolimmaista kappaletta (2-indeksilliset vastaavasti oikeanpuolimmaista).
Asetetaan alkutilanteeksi sellainen, jossa molemmat kappaleet liikkuvat positiiviseen liikesuuntaan (vasemmalta oikealle). Tästä saadaan reunaehdot u1 > 0 ja u2 > 0. Jotta vasemmanpuolinen kappale saavuttaisi ”edellä” kulkevan ja törmäys ylipäätään tapahtuisi, täytyy lisäksi olla u1 > u2. Massa on aina positiivista eli m1 > 0 ja m2 > 0. Kysymyksen asettelusta (voiko 1. kappale kimmota tulosuuntaansa?) saadaan reunaehto v1 < 0, joka voidaan Wikipedian antaman ratkaisun avulla kirjoittaa pelkästään m- ja u-suureiden avulla: (u1 · (m1 – m2) + 2 · m2 u2) / (m1 + m2) < 0.
Opportunistisesti syötin näistä kootun epäyhtälöryhmän WolframAlphaan, joka ilahduttavasti antoi ratkaisun (josta tosin täytyy kaivaa nopeus/massasuhteet ulos ihan itse).
Ensimmäinen tärkeä havainto on, että tehtävän ratkemiseksi ehdoton vaatimus on m2 > m1. Takaapäin tulevan kappaleen on oltava kevyempi kuin edellä kulkeva (tämä käy järkeen, kun miettii systeemin kokonaisliikemäärän säilymistä yhdessä sen rajoituksen kanssa, että lähtötilanteessa molemmat kappaleet liikkuvat samaan suuntaan, joka on kappaleen 1 törmäyksen jälkeistä liikesuuntaa vastaan). Kappaleiden massoja ja nopeuksia sitoo yhtälö, joka voidaan kirjoittaa esim. massasuhteelle m1 / m2 2 · m2 / (m2 – m1).
Näköjään sisällönhallintasoftan HTML-tagijäsennin rikkoi edellisen kommenttini loppuun kirjaamani epäyhtälöt. Tarkoitus oli siis esittää ratkaisu sekä massasuhtelle että nopeussuhtelle.
Jos kappaleiden nopeudet ennen törmäystä (u1, u2) tunnetaan, saadaan massasuhteelle ehto:
m1 / m2 m1) tunnetaan, pätee nopeussuhteelle (ennen törmäystä):
u1 / u2 > 2 · m2 / (m2 – m1).
Eivät välttämättä jatka samaan suuntaan. Jos takaa tuleva kappale on hyvin painava, kappaleet jatkavat samaan suuntaan. Jos takaa tuleva kappale on hyvin kevyt, se palaa takaisin tulosuuntaansa. Eli on olemassa massoista ja nopeuksista riippuva relaatio, joka kertoo milloin takaa tuleva (rajatapauksessa) jää täsmälleen paikalleen.
Hmm… Toimiskohan viimein jos järjestän epäyhtälöt toisin päin..? 😀
Nopeussuhteelle
u1 / u2 > 2 · m2 / (m2 – m1)
Massasuhteelle
m1 / m2 < 1 – 2 · u2 / u1