DIA-pääsykokeen ”kadunylitystehtävä”

Tehtävänanto

Eilisessä diplomi-insinööri- ja arkkitehtiopintojen pääsykokeessa oli matematiikkaosiossa viimeisenä tehtävä, jossa kysyttiin millä todennäköisyydellä henkilö pääsee 610cm leveän kadun toiselle puolelelle ”ottamatta kolmattatoista askelta”. Askeleita otettiin niin, että 60% todennöisyydellä edettiin 60 cm ja 40% todennäköisyydellä edettiin 30 cm (tämä oli muotoiltu kahdessa osassa, joissa kuljettiin 20% todennäköisyydellä viistoon oikealle/vasemmalle).

Tsekkaa Harri Potteri -simulaatio

Tulkinnanvaraisuus

Tehtävänanto on tulkinnanvarainen: täytyykö askelia ottaa juuri tasan 12 (kuten DIA:n esimerkkiratkaisu antaa ymmärtää) vai kelpaako mikä tahansa max 12 askelmäärä, jolla vaadittu 610 cm ehto tulee täyteen?

29.5.2013: Tehtävänanto on sinänsä selvä, hämmennystä aiheutti lähinnä esimerkkiratkaisun muotoilu, josta sai sen kuvan kuin puhuttaisiin vain 12 askeleen kokonaisuuksista. Kokeen järjestävän tahon näkökulma oli sähköpostilla asiaa tiedusteltuani oleellisesti, että kun huomaa päässeensä perille 11 askeleella, voi 12. askeleen jättää ottamatta ja näin ollen myös 11 askeleen tilanteet sisältyvät edellä linkitettyyn esimerkkiratkaisuun.

30.5.2013: DIA:n kotisivulle on kuulemma tulossa jossain vaiheessa tarkempi esimerkkiratkaisu. Alla kuitenkin tyhjentävä ratkaisu tehtävään:

Ratkaisuun tarvittavaa taustaa ja merkintöjä

Tehtävässä oli tarkoituksena hyödyntää toistokokeen kaavaa (binomitodennäköisyys) eli $P(\text{”A tapahtuu tasan } k \text{ kertaa } n \text{ toistolla”})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ useita kertoja. Kaavassa p on tapahtuman A (otetaan 60 cm askel) todennäköisyys.

Otetaan käyttöön seuraavat merkinnät: $n\text{L}$, missä $n\in\mathbb{N}$ tarkoittaa, että on otettu n ”pitkää” (long) askelta eli 60 cm kohti kadun toista reunaa kohti vievää askelta. Esimerkiksi 4L vastaisi neljää 60 cm askelta. Vastaavasti otetaan käyttöön merkintä $m\text{S}$, missä $m\in\mathbb{N}$ short askelille, jotka vievät 30 cm kohti tien vastareunaa. Lisäksi, jos halutaan ilmaista vain tietty määrä askelia muttei haluta ottaa kantaa kumman tyyppisistä askelista on kyse, käytetään merkintää kX, esim. 3X.

Edellisten lisäksi käytetään merkintää nLmS, esim. 10L1S, ilmaisemaan erityyppisten askelten määrää yhdessä askelluksessa. Huomaa, että kyseinen merkintä ei ota tässä kantaa askelten järjestykseen. Esim. merkintä 10L1S sisältää kaikki mahdolliset tapaukset eli että S-askel voi olla missä tahansa kohtaa L-askelten välissä.

Ratkaisu

Kadun toiselle puolelle ei voida päästä 10 askeleella. Toisaalta askeleita saa ottaa korkeintaan 12. Vaihtoehtoina on siis päästä kadun yli tasan 11 tai tasan 12 askeleella. Siis

Kadun poikki tasan 11 askeleella

$P(\text{”Kadun poikki tasan 11 askeleella”}) = P(\text{”11L tai 10L1S”})$. Koska tapaukset 11L ja 10L1S ovat toisensa poissulkevia, voidaan edellä esiintynyt tai-sana korvata todennäköisyyksien yhteenlaskulla. Saadaan siis, että

$\begin{aligned} P(\text{”11L tai 10L1S”}) &= P(\text{”11L”}) + P(\text{”10L1S”}) \\ &= 0,\!6^{11} + \binom{11}{10}\cdot 0,\!6^{10} \cdot 0,\!4^1 \\ &\approx 0,\!03023 \end{aligned}$

Eli todennäköisyys päästä kadun yli tasan 11 askeleella on noin 3% luokkaa.

Kadun poikki tasan 12 askeleella

Esitellään seuraavan kaavan kirjoittamista selventämään seuraavat merkinnät tapahtumia varten:
$A = \text{”9L2S ja lopuksi 1X”}$
$B = \text{”8L3S ja lopuksi 1L”}$

Nyt $P(\text{’Kadun poikki tasan 12 askeleella’}) = P(A \text{ tai } B)$. Koska tapaukset A ja B ovat toisensa poissulkevia, voidaan tai-sana korvata yhteenlaskulla. Samoin tapausten A ja B sisältämät ja-sanat voidaan korvata kertolaskulla. Saadaan, että:

$\begin{aligned} P(A \text{ tai } B) &= P(A) + P(B) \\ &= P(\text{”9L2S”}) \cdot P(\text{”1X”}) + P(\text{”8L3S”})\cdot P(\text{”1L”}) \\ &= \binom{11}{9}\cdot 0,\!6^9 \cdot 0,\!4^2 \cdot 1 + \binom{11}{8}\cdot 0,\!6^8 \cdot 0,\!4^3 \cdot 0,\!6 \\ &\approx 0,\!1951 \end{aligned}$

Lopputulos

Yhteensä siis todennäköisyys päästä kadun yli tasan 11 tai tasan 12 askeella on 0,03023 + 0,1951 = 0,22534 eli noin 22,5%.

Tietokonemallinnettu ratkaisu

Simulaatio

Opetus.tv:n chat-kanavalta tutun Tegu:n tekemä Harri Potteri -simulaatio 🙂

Satunnaislukuja hyödyntävä mallinnus

Python-ohjelmointikielellä kirjoitettu mallinnus, jossa tehdään 50000 askellusta, joissa jokaisessa askeleiden pituudet arvotaan tehtävänannon mukaisesti. Tämän jälkeen katsotaan moniko askelluksista eteni vähintään 610 cm. Sitten sama prosessi toistetaan 10 kertaa ja lasketaan saatujen todennäköisyyksien keskiarvo. Tulokseksi saadaan hyvin lähelle edellä mainittua ylempää arvo eli yleensä noin 0,225 tai 0,226.

Rekursiivinen puumalliin pohjautuva tarkka ratkaisu

Rekursiivisesti kaikki mahdolliset tilanteet läpi käyvä Python-kielellä kirjoitettu ohjelmakoodi. Tulokseksi saadaan sama 0,22534 eli n. 22,5% joka todettiin teorettisessa tarkastelussa ylempänä. Voit suoritta ohjelman Pythonfiddle.com -sivustolla kopioimalla sen sinne ja painamalla Run-nappia.