Tangenttifunktio

Tangentin määritelmä yksikköympyrän avulla

Tarkastellaan kuinka kulman tangentin ennestään tuttu määritelmä (”vastainen jaettuna viereisellä”) voidaan yksikköympyrätarkastelun kautta laajentaa myös yli 90° (eli yli π/2 radiaanin) suuruisille kulmille ja toisaalta negatiivisille kulmille.

Uusi määritelmä kulmaa vastaavan kehäpisteen y/x on yhtenevä ennestään tutun määritelmän kanssa oltaessa 1. neljänneksessä (eli kun kulman suuruus on välillä [0, 90°] eli radiaaneina ilmaistuna välillä [0, π/2]).

Tangenttifunktion kuvaajan johtaminen

Tarkastellaan kuinka tangenttifunktion kuvaaja muodostuu ja miksi tangenttifunktio ei ole määritelty kun kulman suuruus $x=\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi$ (tai asteina $x=90^\circ +n\cdot 180^\circ$), missä n on kokonaisluku.

Osaatko videon perusteella päätellä mikä on tangenttifunktion arvojoukko? Mikä on tangenttifunktion jakson pituus?

Huomautus tangenttifunktion kuvaajan asymptooteista

Huomaa, että jotkut laskimet samoin kuin mm. WolframAlpha piirtävät tangenttifunktion kuvaajaan pystysuorat viivat (nk. asymptootit) näkyviin. Nämä pystysuorat suorat eivät kuitenkaan kuulu tangenttifunktion kuvaajaan!

Tangenttifunktion ominaisuuksia

Tarkastellaan kuvaajan avulla tangenttifunktion määrittelyjoukkoa, arvojoukkoa, perusjaksoa, parittomuutta ja jatkuvuutta. Tangenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuillla poislukien arvot $x=\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi$, missä n on kokonaisluku. Arvojoukko on $\mathbb{R}$ ja perusjakso π. Tangenttifunktio on pariton eli f(-x) = -f(x). Tangenttifunktio on lisäksi jatkuva määrittelyjoukossaan. Tangenttifunktion kuvaajan välillä $]\!-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ olevaa osaa kutsutaan tangentin päähaaraksi.