Sinin ja kosinin symmetriakaavat

Vastakulmien sini ja kosini

Johdetaan vastakulman sinin ja kosinin kaavat yksikköympyrätarkastelun avulla: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ ja $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Ymmärtämisestä on se hyöty, että ulkoa muistettavaa tulee vähemmän ja asian soveltaminen helpottuu verrattuna siihen, että vain sokkona käyttäisi taulukkokirjan kaavoja.

Esimerkkejä

Tehdään viisi esimerkkiä vastakulman siniin ja kosiniin liittyen eli: $\sin (-30^\circ)$, $\cos (-135^\circ)$, $\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)$, $\sin \left(-\frac{7\pi}{3}\right)$ ja $\sin (-2,\!3)$. Kaikkia tilanteita tarkastellaan symbolisen käsittelyn lisäksi myös yksikköympyrän näkökulmasta graafisesti.

Suplementtikulmien sini ja kosini

Tarkastellaan suplementtikulmien siniä ja kosinia yksikköympyrän avulla. Suplementtikulmien sinit ovat yhtä suuret ja kosinit toistensa vastalukuja. Tämä nähdään hyvin yksikköympyrän avulla. Perustellaan lisäksi miksi $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ ja $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ eli asteilla esitettynä $\sin \,90^\circ = 1$ ja $\cos \,90^\circ = 0$.

(Huomaathan, että suplementtikulmien kaavat löytyvät taulukkokirjasta radiaanien avulla esitettynä muodossa $\sin x = \sin(\pi -x)$ ja $\cos x = -\cos (\pi -x)$.)

YO 1886/11

Ratkaistaan vanha ylioppilaskoetehtävä vuodelta 1886! Tehtävä kuuluu näin: kolmion sivujen pituudet ovat 10 ja 20 ja kolmion ala on 60. Ratkaise kolmannen sivun pituus. Ratkaisussa hyödynnetään sinin ja kosinin suplementtikulmien ominaisuuksia kuin myös kolmion alan kaavaa $A = \frac{1}{2}ab\cdot \sin\alpha$ sekä kosinilausetta.

Tämän kurssin videoiden tuottamista on tukenut