Siniyhtälöt

Esimerkki: sin α = sin 30°

Ratkaistaan yhtälö sin α = sin 30° hyödyntäen yksikköympyrää ja sinifunktion kuvaajaa tilannetta havainnollistamaan. Huomaa, että α = 30° on yksi ratkaisu, mutta muita ratkaisuja on äärettömän monta!

Esimerkki: sin x = sin π/3

Ratkaistaan yhtälö sin x = sin π/3. Hyödynnetään ratkaisun miettimisessä yksikköympyrää ja sinifunktion kuvaajaa. Huomaa, että yksi ratkaisu on x = π/3, mutta ratkaisuja on lopulta äärettömän monta!

Esimerkki: sin(x+π/4) = sin(-3π/4)

Ratkaistaan trigonometrinen yhtälö $\sin (x+\frac{\pi}{4}) = \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)$ hyödyntäen yksikköympyrää apuna. Videon lopussa n. 7:50 alkaen rakennetaan lisäksi GeoGebra-ohjelmalla oma havainnollistus ratkaisun tulkitsemista tukemaan.

Esimerkki: sin(5x) + sin(-160°) = 0

Ratkaistaan trigonometrinen yhtälö $\sin(5x) + \sin(-160^\circ) = 0$ hyödyntämällä vastakulman sinin kaavaa $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, yksikköympyrää ja suplementtikulman sinin kaavaa $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ-\alpha)$.

Siniyhtälön ratkaiseminen laskimella

Muotoa sin x = k olevien yhtälöiden ratkaiseminen

Kuvan näkökulmasta muotoa $\sin x = k$ olevan yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa seuraavaa: millä kulman $x$ suuruudella kulmaa vastaavan kehäpisteen y-koordinaatin arvo yksikköympyrässä on k?

Muotoa sin ax = k olevien yhtälöiden ratkaiseminen

Tässä esimerkissä ratkaistaan yhtälö $\sin(3x) – 1 = 0$ sen pohjalta mikä ymmärrys on sinin arvojen ja yksikköympyrän kehäpisteen välillä. Tietysti on mahdollista ratkaista yhtälö laskimella, mutta tavoitteena tässä on enemmänkin ymmärtää mistä ratkaisu tulee.

HUOM! Videossa esitetään yhtälölle vain yksi ratkaisu. Todellisuudessa ratkaisuja on äärettömän monta. Mikä on ratkaisun nk. jakso? Eli ratkaisu on oikeasti muotoa $x = \frac{\pi}{2} + \ldots$. Tarkista vaikkapa laskimella esimerkiksi piirtämällä kuvaaja.

Spoiler: Ratkaisu jakson kanssa on: $x=30^\circ + n\cdot\frac{360^\circ}{3}$ eli $x=30^\circ + n\cdot 120^\circ$, missä $n\in\mathbb{Z}$; radiaaneina vastaava esitys on $x = \frac{\pi}{2} + n\cdot \frac{2\pi}{3}$. Piirrä laskimella tai GeoGebralla kuvaajat $y = \sin(3x)$ ja $y=1$ ja mieti miksi jakso on juuri tuo. Voit toisaalta miettiä myös yksikköympyrän näkökulmasta ”lisäkierroksia” ympyrän kehällä kiertäen.

Tämän kurssin videoiden tuottamista on tukenut