Siniyhtälöt

Esimerkki: sin α = sin 30°

Ratkaistaan yhtälö sin α = sin 30° hyödyntäen yksikköympyrää ja sinifunktion kuvaajaa tilannetta havainnollistamaan. Huomaa, että α = 30° on yksi ratkaisu, mutta muita ratkaisuja on äärettömän monta!

Esimerkki: sin x = sin π/3

Ratkaistaan yhtälö sin x = sin π/3. Hyödynnetään ratkaisun miettimisessä yksikköympyrää ja sinifunktion kuvaajaa. Huomaa, että yksi ratkaisu on x = π/3, mutta ratkaisuja on lopulta äärettömän monta!

Esimerkki: sin(x+π/4) = sin(-3π/4)

Ratkaistaan trigonometrinen yhtälö $\sin (x+\frac{\pi}{4}) = \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)$ hyödyntäen yksikköympyrää apuna. Videon lopussa n. 7:50 alkaen rakennetaan lisäksi GeoGebra-ohjelmalla oma havainnollistus ratkaisun tulkitsemista tukemaan.

Esimerkki: sin(5x) + sin(-160°) = 0

Ratkaistaan trigonometrinen yhtälö $\sin(5x) + \sin(-160^\circ) = 0$ hyödyntämällä vastakulman sinin kaavaa $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, yksikköympyrää ja suplementtikulman sinin kaavaa $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ-\alpha)$.

Siniyhtälön ratkaiseminen laskimella

Muotoa sin x = a olevan yhtälön ratkaiseminen Casio ClassPad -laskimella

Muotoa sin x = k olevien yhtälöiden ratkaiseminen

Kuvan näkökulmasta muotoa $\sin x = k$ olevan yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa seuraavaa: millä kulman $x$ suuruudella kulmaa vastaavan kehäpisteen y-koordinaatin arvo yksikköympyrässä on k?

Muotoa sin ax = k olevien yhtälöiden ratkaiseminen

Tässä esimerkissä ratkaistaan yhtälö $\sin(3x) – 1 = 0$ sen pohjalta mikä ymmärrys on sinin arvojen ja yksikköympyrän kehäpisteen välillä. Tietysti on mahdollista ratkaista yhtälö laskimella, mutta tavoitteena tässä on enemmänkin ymmärtää mistä ratkaisu tulee.

HUOM! Videossa esitetään yhtälölle vain yksi ratkaisu. Todellisuudessa ratkaisuja on äärettömän monta. Mikä on ratkaisun nk. jakso? Eli ratkaisu on oikeasti muotoa $x = \frac{\pi}{2} + \ldots$. Tarkista vaikkapa laskimella esimerkiksi piirtämällä kuvaaja.

Spoiler: Ratkaisu jakson kanssa on: $x=30^\circ + n\cdot\frac{360^\circ}{3}$ eli $x=30^\circ + n\cdot 120^\circ$, missä $n\in\mathbb{Z}$; radiaaneina vastaava esitys on $x = \frac{\pi}{2} + n\cdot \frac{2\pi}{3}$. Piirrä laskimella tai GeoGebralla kuvaajat $y = \sin(3x)$ ja $y=1$ ja mieti miksi jakso on juuri tuo. Voit toisaalta miettiä myös yksikköympyrän näkökulmasta ”lisäkierroksia” ympyrän kehällä kiertäen.

Tämän kurssin videoiden tuottamista on tukenut Otavan Opisto

8 vastausta artikkeliin “Siniyhtälöt”

  1. poeka

    miten sain videon 3 yhtälöstä x+PI/4= -3PI/4 vastaukseksi x=-PI/2?

    x+PI/4= -3PI/4
    x=-3PI/4-PI/4=-2PI/4= -PI/2

    Vastaa
  2. Sakari Liimatainen

    Miksi opetustv:n videot ei käsittele lukujonoja? :/

    Vastaa
    • Janne (Opetus.tv)

      Koska lukujonoista ei olla vielä tehty sisältöä 🙂

      Vastaa
  3. Jake

    Suuret kiitokset näistä videoista, auttoi huomattavasti pääsykokeisiin valmistautumista!

    Vastaa
  4. Johannes

    Todella hyvä video! Jäi parametrin c vaikutus mietityttämään. Olisiko mahdollista saada hieman täsmennystä siihen, miksi se käyttäytyy siten?

    Vastaa
  5. Ella

    Hei! Pitäisiköhän tuon viimeisen vastauksena olla x= pii/6 + (n x 2pii)/3 kun nyt se on pii/2?

    Vastaa

Jätä vastaus artikkeliin Sakari Liimatainen

Napsauta peruuttaaksesi vastauksen.

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>