Ympyrään liittyviä pinta-aloja

Ympyrän pinta-ala

Ympyrän pinta-alan kaavan johtaminen

Tarkkaan ottaen ympyrällä ei ole pinta-alaa. Näin siksi, että ympyrä määritellään vain ”kehäviivana” eikä viivalla ole pinta-alaa. Jos halutaan puhua ympyrän rajaamasta sisäosasta (kuten nyt halutaan), niin oikeaoppinen termi sisäosalle on ”kiekko”. Pitäisi siis tarkkaan ottaen puhua ”kiekon pinta-alasta”. Arkikielessä siis ilmaus ”ympyrän pinta-ala” viittaa juuri kiekon pinta-alaan.

Oli miten oli, tällä videolla tarkastellaan asiaa kuvan näkökulmasta ja lopulta päädytään laskukaavaan $A = \pi r^2$. (Tämän videon 100% ymmärtäminen ei ole välttämätöntä perustietojen oppimiseksi, mutta jos kaavan ymmärtää, se on ehkä helpompi muistaa.)

Esimerkki ympyrän alasta: pyöreä konserttilava

Maailmanluokan kitaristi Matti Meikäläinen lähtee kiertueelleen ja haluaa ympyrän muotoisen esiintymislavan, jonka piiri on vähintään 30m. Mikä on lavan pinta-ala?

Ympyräsektorin pinta-ala

Ympyräsektorin pinta-ala voidaan laskea ympyrän (siis oikeammin kiekon) pinta-alan kaavan avulla, kun keskuskulma $\alpha$ tiedetään: $A=\dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$.

Ympyräsektorin alan kaavan $A = \dfrac{br}{2}$  todistus

Todistetaan lyhyesti ympyräsektorin alaan liittyvä, taulukkokirjasta löytyvä kaava $A = \dfrac{br}{2}$ , missä b on sektorin kaarenpituus ja r ympyrän säde. (Tämän videon 100% ymmärtäminen ei ole välttämätöntä perustietojen oppimiseksi, mutta jos kaavan ymmärtää, se on ehkä helpompi muistaa.)

Esimerkki ympyräsektorin alasta (mummon kukkapenkki)

Mummo päättää tehdä kukkapenkistään ympyräsektorin muotoisen (eikö olekin tosi hieno ja käytännöllinen sovellus 😀 ). Lasketaan sektorin ala ja keskuskulman suuruus hyödyntämällä ympyräsektorin alan kaavoja $A = \dfrac{br}{2}$ ja $A=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$.

Ympyrän keskuskolmion ja segmentin pinta-ala

Teoriatarkastelua asiasta

Käsitellään ympyrän keskuskolmion sekä ison ja pienen segmentin pinta-alan laskemista. Keskuskolmion pinta-alalle esitetään kaava taulukkokirjasta löytyvän kaavan pohjalta kaava $A = \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha$ ja segmenttien alat sektorin ja keskuskolmion alojen avulla.

(Valitettavasti keskuskolmion alan kaavaa ei tässä yhteydessä voida kunnolla vielä perustella, mutta perustelu tulee tämän geometriakokonaisuuden loppupuolella.)

Esimerkki segmenttien pinta-aloista

Jaetaan ympyrän kehä kahteen osaan niin, että kaarien pituuksien suhde on 2:1. Selvitetään mikä on kaaria vastaavien segmenttien pinta-alojen suhde.