Tangenttiyhtälöt

Tangenttiyhtälöt, intuitio

Tarkastellaan miltä muotoa tangenttiyhtälöiden ja erityisesti muotoa $\tan x = k$ olevien yhtälöiden ratkaiseminen kuvan kannalta. Luku $k$ on jokin reaalilukuvakio.

Huomaa, että koska $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ niin tangenttifunktio ei ole määritelty, mikäli $\cos x = 0$ eli kun yksikköympyrässä kehäpisteen x-koordinaatti on nolla. Tämä käy kuvatarkastelussa ilmeiseksi.

Tangenttiyhtälöt muotoa tan x = tan y, intuitio

Käsitellään muotoa $\tan x = \tan y$ olevien yhtälöiden symbolisen ja graafisen esityksen välistä yhteyttä/intuitiota; em. yhtälö toteutuu luonnollisesti mikäli $x=y$, mutta myös mikäli $y$ on minkä tahansa $\pi$ monikerran (eli $180^\circ$ monikerran) päässä arvosta $x$. Matemaattisesti sama ilmaistaan radiaaneina näin: $x=y+n\cdot\pi$, missä $n\in\mathbb{Z}$. Asteina ilmaistuna ratkaisu saa muodon $x=y+n\cdot 180^\circ$, missä $n\in\mathbb{Z}$.

Tangenttiyhtälöt muotoa tan x = tan y, esimerkki 1

Ratkaistaan yhtälö $\tan \frac{x}{2} = \tan \frac{\pi}{3}$ ja katsotaan miltä ratkaisu näyttää xy-koordinaatistossa. Huomaa, että koordinaatiston yksikkönä on radiaanit.

Tangenttiyhtälöt muotoa tan x = tan y, esimerkki 2

Ratkaistaan yhtälö $\tan 2x = \tan (3x-\frac{\pi}{2}) = 0$. Apuna ratkaisussa tarvitaan seuraavaa tietoa: $\tan (-x) = -\tan x$; lukijan/videonkatsojan harjoitustehtäväksi jää miettiä miksi kyseinen kaava pitää paikkaansa. Mieti asiaa esimerkiksi aiemman yksikköympyrätarkastelun näkökulmasta.

Tangenttiyhtälöt muotoa tan x = k, esimerkki 1

Ratkaistaan edellistä kuvatarkastelua apuna käyttäen yhtälö $\tan x = -4$. Tämän jälkeen lasketaan sama laskimella ja todetaan saatujen tulosten vastaavuus.

Tangenttiyhtälöt muotoa tan x = k, esimerkki 2

Ratkaistaan naamioitunut 2. asteen polynomiyhtälö $\tan^2x-2\tan x=3$ hyödyntämällä muuttujanvaihtoa ja sen jälkeen 2. asteen polynomiyhtälön ratkaisukaavaa.