Käsitellään tässä aritmeettisia ja geometrisia lukujonoja, joita tarvitaan työkaluina myöhemmin mm. koronkorko- ja lainalaskuissa.
Johdanto
Lukujonot ovat tuttuja esim. ”Mikä luku tulee seuraavaksi?” -tyylisistä arvoituksista. Lukujonoja nimetään usein pienillä kirjaimilla a, b, c, … ja tällöin esim. lukujonon a termit ensimmäisestä alkaen olisivat a1, a2, a3, … Joskus jonon jäsenten numerointi voidaan aloittaa nollasta ykkösen sijaan, mutta näiden videoiden yhteydessä nollasta alkavalle indeksoinnille ei ole perusteltuja syitä.
Muistiinpanot johdannosta
Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono on lukujono, jossa kahden peräkkäisen jonon termin välinen erotus on aina vakio. Esimerkiksi -1, 2, 5, 8, 11, … on aritmeettinen lukujono, sillä peräkkäisten termien erotus on aina 3. Termien erotusta kutsutaan usein differenssiksi, $d = a_n – a_{n-1}$
Muistiinpanot aritmeettisista lukujonoista
Aritmeettisen lukujonon summa
Johdetaan aritmeettisen lukujonon summan kaava: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$
Muistiinpanot aritmeettisen lukujonon summasta
Geometrinen lukujono
Geometrinen lukujono on lukujono, jossa kahden peräkkäisen termin osamäärä (eli jakolaskun tulos) on aina vakio. Esimerkiksi lukujono 2, 4, 8, 16, … on geometrinen, sillä kahden peräkkäisen termin osamäärä on aina 2. Geometrisen lukujonon suhdeluku q on siis: $q = \frac{a_n}{a_{n-1}}$
Muistiinpanot geometrisista lukujonoista
Geometrisen lukujonon summa
Tarinan mukaan shakki-pelin keksinyt intialainen matemaatikko sai esittää hallitsijalleen toiveen palkkiosta; hallitsija näet mieltyi peliin kovin. Kun keksijä esitti toiveensa, kummaksui hallitsija pyynnön ”vähäpätöisyyttä”…mutta kuinka kävikään…
Geometrisen lukujonon summan kaava on: $S_n = a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$, missä $q = \frac{a_n}{a_{n-1}}$
Muistiinpanot geometrisen lukujonon summasta
Näiden videoiden tuottamista on tukenut Töölön yhteiskoulun lukio Helsingistä. 
Kiitoksia kiitoksia.
Ole hyvä 🙂
Miksi pitää käyttää esimerkeissä kertovan luvun paikalla lukua 1 (video: geometrisen lukujonon summa)? Nyt en saanyt mitään selkoa miten pitää toimia jos luku kerrotaankin luvulla 4, koska ohjeessasi ”kerroin ykkönen voidaan jättää merkkaamatta” ei auta minua nyt yhtään. 🙁
Silloinhan lisäät kertoimeksi 4. Tässä esimerkissä ykkönen voidaan jättää pois, koska 1 * (mikä tahansa luku) on aina (mikä tahansa luku), siis 1*999 = 999 ja 1*1 = 1. Tämän takia sitä ei tarvitse merkata lainkaan.
Jos tilalla olisi 4, se pitäisi merkata kertoimeksi, koska 4*999 = 3996 (tjsp.) 🙂
Mitens tällainen lasketaan: ”Tammikuussa Veera laittaa säästölippaaseensa 100€. Hän päättää jatkaa säästämistä pudottamalla joka kuukausi summan, joka on 10€ suurempi kuin edellisen kuun summa. Milloin Veeran säästölippaaseen on kertynyt yhteensä 3000€?”
Hei Janne. Miten ratkaisen sellaisen lukujonon, jossa differenssi ei ole vakio. Esim. 2 – 6 – 12 – 20, jolloin ensimmäinen differenssi on 4, toinen 6 ja sitten 8. Miten tuolloin ratkaistaan yleinen jäsen? Kiitoksia ajastasi.
Tarkoitatko nimenomaan, että differenssi kasvaa koko ajan kahdella eli differenssien differenssi on vakio ja näin ollen differenssit muodostavat aritmeettisen lukujonon? Ja kun puhut ratkaisemisesta niin mitä haluat kyseiseen lukujonoon liittyen ratkaista?
Moi,
Onkohan tuossa 4. videon lopussa olevassa esimerkissä ajatusvirhe?
Korkoaika saadaan kaavalla log(K/k) / log(1+i), eli tässä tapauksessa log(2000/1200) / log (1+0.025) ¨= 20.69 (korkokautta)
Näinollen korkokausia tarvittaisiin 20.69, joka siis pyöristyy ylöspäin 21 korkokauteen.
Vahvistuksena 1200*1.025^21¨=2015.50
Videon laskelma antaa tulokseksi n:nnen lukujonon termin, jonka kohdalla 2000 € ylittyy.Termien numerointi alkaa kuitenkin alkutilanteesta jonka numero on yksi, mutta korkokausien määrä vasta nolla. Näinollen videolla annettu vastaus 22 on yksi liikaa.
Eikö siis lopussa kuuluisi vähentää tuosta saadusta luvusta yksi, koska kysymys kuuluu monenko vuoden päästä, eli monenko korkokauden kuluttua pääoma on kasvanut yli 2000 euroon, kun taas kaava antaa monesko lukujonon termi on kyseessä =)