Aritmeettisen lukujonon summa

Aritmeettinen summa: laskukaava esimerkin kautta

Äärellistä aritmeettista lukujonoa tarkasteltaessa osoittautuu, että jonon ensimmäisen ja viimeisen termin summa on sama kuin toisen ja toiseksiviimeisen summa, kolmannen ja kolmanneksiviimeisen summa, ja niin edelleen. Tämän havainnon pohjalta johdetaan äärellisen aritmeettisen lukujonon summan laskentakaava $$\begin{align}\sum_{i=1}^n a_i &= a_1+a_2+\ldots+a_n \\ &= \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\end{align}$$ missä $i$ on summaukseen liittyvä indeksimuuttuja eikä sillä ole mitään tekemistä vektorilaskennan kantavektorin $\bar{i}$ kanssa. Aritmeettista summaa on tapana merkitä myös $S_n$, mutta kyseinen merkintä on monitulkintainen, koska samaa merkintää käytetään myös geometrisen summan yhteydessä.

Aritmeettinen summa: esimerkki 1

Lasketaan summa $$\begin{align}\sum_{i=1}^{500} (2i-1) &= (2\cdot 1-1)+(2\cdot 2-1)+(2\cdot 3-1)+\ldots + (2\cdot 500-1) \\ &= 1+3+5+\ldots+999\end{align}$$ Merkintä $\sum_{i=1}^n a_i$ tarkoittaa, että lausekkeen $a_i$ arvo lasketaan jokaisella $i=1,2,\ldots,n$ ja saadut arvot summataan yhteen. Kirjain $\Sigma$ on kreikkalaisten aakkosten iso sigma-kirjain ja sitä käytetään lyhentämään summamerkintöjä. Merkinnästä käytetään myös mm. nimitystä summasilmukka.

Aritmeettinen summa: esimerkki 2

Lasketaan aritmeettinen summa 8+15+22+…+123509 hyödyntämällä aritmeettisen lukujonon yleisen termin kaavaa $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$ sekä aritmeettisen lukujonon summan kaavaa $S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$. Jotta tehtävässä päästään alkuun, täytyy aluksi selvittää monesko summan termi (jonon jäsen) luku 123509 on.

Aritmeettinen summa ja WC-paperirulla: GeoGebra

Kuinka monta kierrosta WC-paperirullassa on paperia, jos tiedetään rullan sisähalkaisija, ulkohalkaisija, paperipalojen määrä ja yhden palan pituus?

Aritmeettinen summa ja WC-paperirulla: laskelma

Sama tavoite kuin edellisessä videossa eli selvittää WC-paperirullassa olevien kierrosten lukumäärä. Tällä kertaa lähestytään asiaa kuitenkin laskemalla GeoGebran sijaan.

Aritmeettinen summa ja WC-paperirulla: mittaus

Edellisissä kahdessa aritmeettiseen summaan liittyvässä videossa tarkasteltiin mallintamalla ja laskemalla WC-paperirullasssa olevaa kierrosten määrää. Tehdään nyt mittaus ja katsotaan osuivatko laskelmat oikeaan.

Tämän kurssin videoiden tuottamista on tukenut