Itseisarvoyhtälö

Mikä on itseisarvoyhtälö?

Itseisarvoyhtälö on mikä tahansa yhtälö, jossa muuttuja esiintyy itseisarvolausekkeen sisällä. Esimerkiksi $|x+3| = 4$ on itseisarvoyhtälö.

Itseisarvoyhtälön ratkaiseminen

Esitetään itseisarvoyhtälöille erittäin hyödyllinen ratkaisutapa nimittäin ”lokerointi”. Kyseinen lähestymistapa ei yleensä ole lyhin ratkaisutapa itseisarvoyhtälöihin, mutta sen ehdoton hyöty on selkeys ja se, ettei eri tyyppisiä itseisarvoyhtälöitä varten tarvitse opetella/muistaa erilaisia ratkaisutapoja vaan sama tekniikka toimii kaikkiin itseisarvoyhtälöihin!

Itseisarvoyhtälön ratkaiseminen lokeroimalla:

  1. Ratkaise itseisarvomerkkien sisällä olevan lausekkeen/lausekkeiden nollakohdat ja piirrä itseisarvojen sisällöistä tyyppikuvaajat.
  2. Piirrä lukusuora, johon piirrät pystyviivat jokaisen edellisessä kohdassa löydetyn nollakohdan kohdalle.
  3. Kirjoita alkuperäinen yhtälö kohdassa 2 muodostuneisiin lokeroihin ilman itseisarvoja ja ratkaise kussakin lokerossa oleva yhtälö.
  4. Tulkitse lopullinen vastaus (ts. mitkä lokeroissa saadut tulokset lopulta kelpaavat alkuperäisen yhtälön ratkaisuiksi ja mitkä eivät)

Teoriaa ja lokerointilähestymistavan esittely

Videon alussa on johdantoa. ”Lokerointiratkaisutavan” esittely alkaa noin kohdasta 4:08.

Itseisarvoyhtälö
Itseisarvoyhtälö
Itseisarvoyhtälö, tulostusversio
Itseisarvoyhtälö, tulostusversio

Esimerkki: $|x^2-x|=2x$

Videolla tarkastellaan ensin kuvaajan avulla yhtälöä $|x^2-x| = 2x$ ja nähdään, että yhtälön ratkaisuja ovat $x=0$ ja $x=3$. Tämän jälkeen ratkaistaan yhtälö symbolisesti edellisestä videosta tuttua ”lokerointia” hyödyntämällä.

Esimerkki: ratkaistaan |x²-x| = 2x lokeroimalla
Esimerkki: ratkaistaan |x²-x| = 2x lokeroimalla
Esimerkki: ratkaistaan |x²-x| = 2x lokeroimalla, tulostusversio
Esimerkki: ratkaistaan |x²-x| = 2x lokeroimalla, tulostusversio

Esimerkki: $3x+2+|x^2-4x|=|x-\pi|$

Ratkaistaan ”lokeroimalla” aavistuksen pelottavan näköinen itseisarvoyhtälö: $3x+2+|x^2-4x| = |x – \pi|$. Tarkastellaan myös tilannetta kuvaajan näkökulmasta.

Itseisarvoyhtälön 3x+2+|x²-4x| = |x-π| ratkaisu
Itseisarvoyhtälön 3x+2+|x²-4x| = |x-π| ratkaisu
Itseisarvoyhtälön 3x+2+|x²-4x| = |x-π| ratkaisu, tulostusversio
Itseisarvoyhtälön 3x+2+|x²-4x| = |x-π| ratkaisu, tulostusversio

Tapaukset $|a|=b$ ja $|a|=|b|$ ilman lokerointia

Käsitellään itseisarvoyhtälöihin liittyen erikoistapaukset $|a|=b$ ja $|a|=|b|$

13 vastausta artikkeliin “Itseisarvoyhtälö”

    •  Kollegani Sakari Svärd Kuopion klassillisesta lukiosta, joka on opettanut yli 40v pitkää matematiikkaa opettaa noin, eli eiköhän se YTL:lle kelpaa 🙂

      Vastaa
  1. lukiolainen

    Voisitko mahdollisesti lisätä esimerkin, jossa näytät mitä tehdään, kun itseisarvo merkkien sisällä on toinen itseisarvo? 🙂

    Vastaa
    • Sitä voisi lähestyä (lokerointia käytettäessä) niin, että lokeroiden sisälle tulee lokeroita. Se tosin menee vähän haastavaksi ja parempi on tilanteesta riippuen todennäköisesti pilkkoa ulommat itseisarvot erillisiin tarkasteluihin, joista jokaiselle tehdään lokerointi. Kannattaa myös piirtää esim. laskimella kuvia ja pyrkiä hahmottamaan tilannetta sitä kautta itselleen.

      Vastaa
  2. opiskelija

    Tämä on matikan opetusta ei äidinkielen!!!!!!

    Vastaa
    • Anton Lassinoja

      Tässä koetetaan levittää sanaa, ei mitään. Pienellä piirillä tajuttiin ja pidetään suomenkielen perintöä yllä 😀 hienoa työtä teette! Pitkät matikat olleet kymppejä aikalailla teidän ansiostanne 🙂

      Vastaa
  3. Jöö

    Tämä itseisarvoyhtälöiden lokerointimenetelmä on kyllä kieltämättä poikkeuksellisen hyödyllinen, kiitos siitä. Pääosin muukin materiaali toki erinomaista, mutta tämä ansaitsee vielä erityismaininnan. 🙂

    Vastaa
  4. Mzl

    Hei,
    Kiitos selkeistä opetusvideoista, varsinkin tämä lokerointi pelasti minut! Ymmärrän kohtuullisesti, vaikka osaankin kaikki matematiikan termit vain ruotsiksi 🙂

    Vastaa
  5. laskija

    Meillä oli kirjassamme tehtävä jossa piti ratkaista yhtälö |x/(x-2)|=1, mutta en saanut siitä oikeaa vastausta. Vasempaan lokeroon tuli vastaukseksi kirjan oikea vastaus, mutta eihän sitä pitäisi ottaa huomioon, koska se ei kuulu kyseiseen lokeroon? Mitäs olen tehnyt väärin?

    Vastaa

Jätä vastaus

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>