Geometrisen lukujonon summa

Äärellinen geometrinen summa esimerkin kautta

Tarinan mukaan shakki-pelin keksijä esitti erittäin viisaan palkkiopyynnön hallitsijan kysyessä mitä tämä haluaisi palkinnoksi mainion pelin keksimisestä. Palkintopyyntö oli geometrisen lukujonon summa, joka osoittautui niin suureksi ettei koko valtakunnassa riittänyt riisi pyynnön toteuttamiseen. Hallitsija ei kuitenkaan palkkiota luvatessaan ymmärtänyt mitä lupasi. Tämän videon katsottuasi olet kyseistä hallitsijaa viisaampi 🙂

Geometrisen lukujonon summan kaava on siis: $$S_n = a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$ missä $a_1$ on summan ensimmäinen termi, $q = \frac{a_k}{a_{k-1}}$ eli kahden peräkkäisen termin osamäärä ja $n$ on yhteenlaskettavien termien lukumäärä. Huomaa, että mikäli indeksointi alkaisi nollasta, olisi yhteenlaskettavia termejä yksi enemmän kuin viimeisen termin indeksi!

Geometrinen summa: esimerkki 1

Lasketaan geometrisen lukujonon 3+6+12+24+…1572864 summa. Aluksi täytyy selvittää monesko jonon 3,6,12,… jäsen viimeinen summattava 1572864 on.

Geometrinen summa: esimerkki 2

Laske jonon $(a_n)$ 16. jäsen, kun $a_1=5$ ja $a_n=a_{n-1} + 3\cdot 2^{n-1}$. Kyseessä on siis rekursiivisesti määristelty lukujono. Voit tutkia onko jono geometrinen laskemalla muutamia jäseniä ja tutkimalla peräkkäisten jäsenten suhdetta; onko peräkkäisten termien suhde vakio? Mikä on 16. jäsen?

Geometrinen summa: talletusesimerkki

Saara aloittaa 15v syntymäpäivänään säästämään oman hevosen ostamista varten. Saara päättää seuraavat 8v tallettaa syntymäpäivänään erilliselle säästötililleen aina 1000e vuoden aikana kertynyttä ja syntymäpäivänä mahdollisesti saatua. Isä lupaa maksaa 7 % vuosikoron Saaran tilillä kulloinkin ennen syntymäpäivää olevalle pääomalle. Paljonko Saaralla on rahaa tilillään 9. talletuksen jälkeen?

Tämän kurssin videoiden tuottamista on tukenut