Lukujonot

Käsitellään tässä aritmeettisia ja geometrisia lukujonoja, joita tarvitaan työkaluina myöhemmin mm. koronkorko- ja lainalaskuissa.

Johdanto

Lukujonot ovat tuttuja esim. ”Mikä luku tulee seuraavaksi?” -tyylisistä arvoituksista. Lukujonoja nimetään usein pienillä kirjaimilla a, b, c, … ja tällöin esim. lukujonon a termit ensimmäisestä alkaen olisivat a1, a2, a3, … Joskus jonon jäsenten numerointi voidaan aloittaa nollasta ykkösen sijaan, mutta näiden videoiden yhteydessä nollasta alkavalle indeksoinnille ei ole perusteltuja syitä.

Muistiinpanot johdannosta

Johdanto lukujonoihin
Johdanto lukujonoihin
Johdanto lukujonoihin, tulostusversio
Johdanto lukujonoihin, tulostusversio

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono on lukujono, jossa kahden peräkkäisen jonon termin välinen erotus on aina vakio. Esimerkiksi -1, 2, 5, 8, 11, … on aritmeettinen lukujono, sillä peräkkäisten termien erotus on aina 3. Termien erotusta kutsutaan usein differenssiksi, $d = a_n – a_{n-1}$

Muistiinpanot aritmeettisista lukujonoista

Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono, tulostusversio
Aritmeettinen lukujono, tulostusversio

Aritmeettisen lukujonon summa

Johdetaan aritmeettisen lukujonon summan kaava: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$

Muistiinpanot aritmeettisen lukujonon summasta

Aritmeettisen lukujonon summa
Aritmeettisen lukujonon summa
Aritmeettisen lukujonon summa, tulostusversio
Aritmeettisen lukujonon summa, tulostusversio

Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono on lukujono, jossa kahden peräkkäisen termin osamäärä (eli jakolaskun tulos) on aina vakio. Esimerkiksi lukujono 2, 4, 8, 16, … on geometrinen, sillä kahden peräkkäisen termin osamäärä on aina 2. Geometrisen lukujonon suhdeluku q on siis: $q = \frac{a_n}{a_{n-1}}$

Muistiinpanot geometrisista lukujonoista

Geometrinen lukujono
Geometrinen lukujono
Geometrinen lukujono, tulostusversio
Geometrinen lukujono, tulostusversio

Geometrisen lukujonon summa

Tarinan mukaan shakki-pelin keksinyt intialainen matemaatikko sai esittää hallitsijalleen toiveen palkkiosta; hallitsija näet mieltyi peliin kovin. Kun keksijä esitti toiveensa, kummaksui hallitsija pyynnön ”vähäpätöisyyttä”…mutta kuinka kävikään…

Geometrisen lukujonon summan kaava on: $S_n = a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$, missä $q = \frac{a_n}{a_{n-1}}$

Muistiinpanot geometrisen lukujonon summasta

Geometrisen lukujonon summa
Geometrisen lukujonon summa
Geometrisen lukujonon summa, tulostusversio
Geometrisen lukujonon summa, tulostusversio

Näiden videoiden tuottamista on tukenut Töölön yhteiskoulun lukio Helsingistä. Töölön yhteiskoulun lukion logo

  • Vierac

    Kiitoksia kiitoksia.

    • jcederberg

      Ole hyvä 🙂

  • vieras

    Miksi pitää käyttää esimerkeissä kertovan luvun paikalla lukua 1 (video: geometrisen lukujonon summa)? Nyt en saanyt mitään selkoa miten pitää toimia jos luku kerrotaankin luvulla 4, koska ohjeessasi ”kerroin ykkönen voidaan jättää merkkaamatta” ei auta minua nyt yhtään. 🙁

    • Minä

      Silloinhan lisäät kertoimeksi 4. Tässä esimerkissä ykkönen voidaan jättää pois, koska 1 * (mikä tahansa luku) on aina (mikä tahansa luku), siis 1*999 = 999 ja 1*1 = 1. Tämän takia sitä ei tarvitse merkata lainkaan.
      Jos tilalla olisi 4, se pitäisi merkata kertoimeksi, koska 4*999 = 3996 (tjsp.) 🙂

  • Pingback: Matematiikka | Pearltrees()

  • Vieras

    Mitens tällainen lasketaan: ”Tammikuussa Veera laittaa säästölippaaseensa 100€. Hän päättää jatkaa säästämistä pudottamalla joka kuukausi summan, joka on 10€ suurempi kuin edellisen kuun summa. Milloin Veeran säästölippaaseen on kertynyt yhteensä 3000€?”