Käsitellään yleistä potenssifunktiota $f(x) = x^r$, missä r voi olla mikä tahansa reaaliluku. Funktion f määrittelyjoukko riippuu eksponentin r arvosta.
Videon vaiheet
0:00 Yleisen potenssifunktion lauseke, määrittelyjoukko ja kuvaaja
4:50 Esim 1a: Mikä on funktion $f(x) = x^{\tfrac{1}{3}}$ määrittelyjoukko?
5:45 Esim 1b: (vähän vaikeampi tilanne edellisestä)
7:47 Esim 2a: Ratkaise yhtälö $8 – x^{\tfrac{3}{2}} = 0$
9:08 Esim 2b: Ratkaise epäyhtälö $3x^{\tfrac{2}{3}}>12$
Muistiinpanot
Hei.
Miksi x^r on määritelty, kun x>0, jos r on murtoluku tai irrationaaliluku?
Esimerkkinä tuo videossakin esiintyvä f(x) = x^(1/3): Eikö f:n pitäisi olla määritelty kaikilla reaaliluvuilla? Tuo funktiohan vastaa kolmannen juuren ottamista.
Kiitos!
Morjes! Tuo rajaus johtuu siitä, että ilman sitä ajaudutaan seuraavaan ongelmaan: esim. 1/3 = 2/6, mutta x^(1/3) ei ole sama kuin x^(2/6) jos x on negatiivinen.
Esimerkki: jos x=-27 niin x^(1/3) = -3. Olisi toivottavaa että koska 1/3 = 2/6 niin myös x^(2/6) = -3. Näin ei kuitenkaan ole: jos ajatellaan potenssiin korotus ensin niin: x^(2/6) = (x^2)^(1/6) = 3. Toisaalta jos ajatellaan 6-juuren otto ensin niin: x^(2/6) = (x^(1/6))^2, joka ei ole edes määritelty.
Tästä monitulkintaisuudesta johtuen murtopotenssissa kantaluvun määrittelyjoukko rajataan joukkoon x>0. Irrationaalipotenssille kantaluvun rajauksen syy pohjautuu samantyyliseen perusteluun.
No voi hippula. Maalikkona tekisi mieli väittää että x^(1/3)=x^(2/6) kaikilla x arvoilla, mutta x^(2/6) != (x^2)^(1/6) kaikilla x arvoilla, siis että tuo yksikäsitteisyys hajoiaisi vasta kun ajatellaan että x^(m/n) = (x^m)^(1/n) rajaamatta lainakan arvoja, jolloin informaatiota katoaa koska esimerkiksi -2^2=2^2. Eritoten kun piirtää kuvaajan x^(1/3) niin määrittelyjoukko näyttäisi olevan koko reaalilukujen joukko, mikä mielestäni on ristiriidassa tehtävän a kanssa.