Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen polynomiyhtälö yleisesti

Videon aiheena on toisen asteen yhtälön määritteleminen ja ratkaisun havainnollistamista GeoGebran avulla; muotoa $ax^2+bx+c=0$ olevan yhtälön ratkaisuja ovat siis ne muuttujan $x$ arvot, joiden kohdalla paraabeli $y=ax^2+bx+c$ leikkaa $x$ -akselin (eli on korkeusarvoltaan nolla). Huomaa em. kahdessa yhtälössä kirjaimen $y$ ja luvun nolla välinen yhteys!

Muistiinpanot

MAA2, Toisen asteen yhtälö — Toisen asteen yhtälö

MAA2, Toisen asteen yhtälö, tulostusversio — Toisen asteen yhtälö, tulostusversio

Vaillinainen toisen asteen yhtälö: tapaus b=0

Kyseessä on siis toisen asteen yhtälö, joka on muodossa $ax^2+bx+c=0$ tai voidaan muokata siihen muotoon. Jos tällöin ensimmäisen asteen termin kerroin $b=0$ niin yhtälö pelkistyy muotoon $ax^2+c=0$ . Tämän yhtälöna ratkaisuna on $x=\pm \sqrt{\tfrac{-c}{a}}$ olettaen, että neliöjuuren sisällä oleva osa $\tfrac{-c}{a}\geq 0$ .

Muistiinpanot

MAA2, Toisen asteen yhtälö, kun b=0 — Toisen asteen yhtälö, kun b=0

MAA2, Toisen asteen yhtälö, kun b=0, tulostusversio — Toisen asteen yhtälö, kun b=0; tulostusversio

Vaillinainen toisen asteen yhtälö: tapaus c=0

Kuten edellä, mutta jos nyt vakiotermi $c=0$ niin yhtälö $ax^2+bx+c=0$ saadaan muotoon $ax^2+bx=0$ . Ottamalla yhteinen tekijä $x$ saadaan, että $x(ax+b)=0$ ja tällöin tulon nollasäännön nojalla joko $x=0$ tai $ax+b=0$ . Jälkimmäinen voidaan ratkaista tutuilla keinoilla loppuun.

Muistiinpanot

MAA2, Toisen asteen yhtälö, kun vakiotermi c=0 — Toisen asteen yhtälö, kun vakiotermi c=0

MAA2, Toisen asteen yhtälö, kun vakiotermi c=0, tulostusversio — Toisen asteen yhtälö, kun vakiotermi c=0; tulostusversio

6 vastausta artikkeliin “Toisen asteen yhtälö”

Krista 15.2.2016

Olenko laskenut tämän jotenkin hassusti, vai voiko c = 0 valinnaiset 2. asteen yhtälöt laskea suoraan x = -b/a muistikaavalla?

x^2 + b/a*x + c/a = 0, missä c = 0
x^2 + b/a*x + 0 = 0
x^2 + b/a*x = 0 || : x
x + b/a = 0 || – b/a
x = -b/a

Ja kiitos vielä näistä videoista! Mielestäni tämä on helpoin tapa oppia! 🙂
Vastaa
- Krista 15.2.2016
  
  Hups! Jäi näköjään ensimmäinen askel kirjoittamatta! 🙂 Eli:
  
  ax^2 + bx + c = 0 || : a
  x^2 + b/a*x + c/a = 0
  …
  Vastaa
  - Janne Cederberg 19.3.2016
    
    Moikka Krista!
    Jos yhtälössä ax^2 + bx + c = 0 pätee, että c=0 niin yhtälö sievenee muotoon ax^2 + bx = 0. Tämän jälkeen yhteisen tekijän x ottamalla saadaan, että x(ax+b)=0. Nyt tulon nollasäännön nojalla todetaan, että on oltava joko x=0 tai ax+b=0. Jälkimmäisestä saadaan, että ax=-b eli x=-b/a.
    Vastaa
Vilma 20.8.2019

Moi! Miksi videon 2 toisessa esimerkissä jätetään neliöjuuri ratkaisematta?
Vastaa
- Anu 27.11.2019
  
  Koska luvun 3 neliöjuuri on 1.73205….jne. Tällöin seuraava sääntö pätee: ”Neliöjuuren arvo on usein päättymätön jaksoton desimaaliluku eli se ei ole rationaaliluku. Tällaiset luvut merkitään yleensä tarkkoina arvoina neliöjuurena eikä likiarvona.”
  
  Jos eteen tulee tällainen lasku, jossa ei saa käyttää laskinta, voi vastauksen merkitä neliöjuurena.
  Vastaa
Pablo 31.12.2019

Eikö tuon kakkosvideon toisessa esimerkissä pitäisi nuo x-akselin leikkauspisteet olla -√3 ja +√3 sen sijaan, että ovat -3 ja +3?
Vastaa