Eksponenttifunktio

Johdanto, määritelmä ja ominaisuuksia

Eksponenttifunktioiden avulla voidaan mallintaa mm. käytetyn auton hinnan alenemista suhteessa auton ikään ja bakterien määrän lisääntymistä ajan funktiona ja radioaktiivisen aineen hajoamista. Koronkorko- ja sijoituslaskennassa eksponenttifunktiot ovat korvaamattomia työkaluja.

Videolla käsitellään eksponenttifunktion määritelmä: $f:\mathbb{R}\to]0,\infty[,\; f(x)=a^x$, missä $a>0.$ (Huomaa, että funktioiden $f(x)=a^x$ ja $g(x)=\left(\tfrac{1}{a}\right)^x=a^{-x}$ kuvaajat ovat toistensa peilikuvia y-akselin suhteen.)

Lisäksi videolla käsitellään muutamia eksponenttifunktion ominaisuuksia kuvaajan avulla.

Muistiinpanot

Päättele ilman laskinta kumpi on suurempi

Käsitellään kolme esimerkkiä tilanteista, joissa eksponenttien laskusääntöjen ja eksponenttifunktion aidon kasvavuuden (kantaluku yli 1) tai aidon vähenevyyden (kantaluku 0:n ja 1:n välissä) avulla päätellään kumpi kahdesta luvusta on suurempi.

Muistiinpanot

Raja-arvoesimerkki

Lasketaan raja-arvo $\lim_{x\to2} \frac{8-2^{x+1}}{2^{2x}-16}$.

Muistiinpanot

Esimerkki: kantaluvun määrittäminen

Määritetään funktion $f(x) = (2k^2+k)^x$ kantaluku $2k^2+k$ niin, että funktio f on aidosti vähenevä. Täytyy siis ratkaista k niin, että eksponentin kantaluvulle $2k^2+k$ pätee, että $0 < 2k^2+k < 1$ ja tällöin funktio f on aidosti vähenevä eksponenttifunktio:

Muistiinpanot