Jonnen energiajuomatehdas
Jonne, Mage, Viljami ja Joni päättävät perustaa oman energiajuomatehtaan. Ensin Jonne haluaa selvittää kuinka suuri puolen litran tölkin pohjan halkaisijan (tai säteen) on oltava, jotta tölkkien valmistuksessa kuluu mahdollisimman vähän alumiinia.
Energiajuoman myyntihinnan optimointi
Jonne optimoi ”Jonne Drinks Energy” -juoman hintaa Viljamin veljen avustuksella niin, että tuotto olisi mahdollisimman suuri.
Aitauksen pinta-alan optimointi (aitaa rajallisesti)
Rakennetaan suorakulmion muotoinen kotieläinaitaus niin, että talon seinä muodostaa aitauksen yhden sivun. Aitaa on käytettävissä a metriä. Kuinka aitauksen mitat on valittava, jotta aitauksen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri?
Jatkuvan ja derivoituvan funktion suurin ja pienin arvo (Fermat’n lause)
Seuraavaa tulosta kutsutaan joskus Fermat’n lauseeksi. Fermat’n lausetta voidaan hyödyntää ääriarvotehtävissä kulkukaavion sijasta:
Mikäli funktio (nimeltään vaikkapa f) on
- jatkuva suljetulla välillä (esim. $[a,b]$) ja
- derivoituva vastaavalla avoimella välillä (siis $]a,b[$)
niin funktion suurin ja pienin arvo määrittelyjoukossa ($[a,b]$) löydetään joukosta $\{f(a), f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_n), f(b)\}$, missä $x_0, x_1, \ldots, x_n$ ovat funktion f derivaatan nollakohtia. Riittää siis tutkia funktion arvoa välin päätepisteissä ja välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.
YO K2011/5
Selvitetään funktion $P(x) = x(x+3)(5-x)$ suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [-1,5].
YO K82/7a
Ratkaistaan K82/7a YO-koetehtävä, jossa suoran ympyräkartion sisään asetetaan suora ympyrälieriö. Lieriön pohjaympyrän säde täytyy määrittää siten, että sen lieriön yhteispinta-ala on mahdollisimman suuri.
