Teoriaa kasvavuudesta ja vähenevyydestä
Kasvava funktio kulkee ”ylämäkeen” ja vähenevä funktio ”alamäkeen” (olettaen, että käytössä on tuttu xy-koordinaatisto, jossa x-akselin arvot kasvavat oikealle ja y-akselin arvot kasvavat ylöpäin). Käsitellään myös termit ”aidosti kasvava” ja ”aidosti vähenevä” sekä termi ”monotoninen funktio”. Kasvavuutta ja vähenevyyttä tarvitaan oleellisena apuna esimerkiksi epäyhtälöitä ratkaistaessa.
Polynomifunktioiden aito kasvavuus ja vähenevyys
Käsitellään aitoa kasvavuutta tuttujen 1. ja 2. asteen polynomifunktioiden näkökulmasta, ts. millä ehdolla nämä funktiot ovat aidosti kasvavia/väheneviä. Osaatko tähän asti osaamasi perusteellä päätellä lopputuloksen?
Potenssifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys
Tutkitaan potenssifunktioiden $f(x) = x^n$ kasvavuutta ja vähenevyyttä. Näitä tietoja voidaan hyödyntää esimerkiksi epäyhtälöitä ratkaistaessa. Mikäli $n \in 1, 3, 5, \ldots$ on funktio $f$ aidosti kasvava. Jos taas $n \in 2, 4, 6, \ldots$ on funktio $f$ aidosti vähenevä, kun $x<0$ ja aidosti kasvava kun $x>0$.
Esimerkki: aidon kasvavuuden hyödyntäminen epäyhtälön ratkaisussa
Ratkaistaan epäyhtälö $x^6 < (-2x+3)^3$ hyödyntämällä potenssifunktion $x^3$ aitoa kasvavuutta ja havainnollistetaan sen jälkeen tilannetta vielä GeoGebra-ohjelmalla.
