Teoriaa kasvavuudesta ja vähenevyydestä
Kasvava funktio kulkee ”ylämäkeen” ja vähenevä funktio ”alamäkeen” (olettaen, että käytössä on tuttu xy-koordinaatisto, jossa x-akselin arvot kasvavat oikealle ja y-akselin arvot kasvavat ylöpäin). Käsitellään myös termit ”aidosti kasvava” ja ”aidosti vähenevä” sekä termi ”monotoninen funktio”. Kasvavuutta ja vähenevyyttä tarvitaan oleellisena apuna esimerkiksi epäyhtälöitä ratkaistaessa.
![Funktion kasvavuus ja vähenevyys Funktion kasvavuus ja vähenevyys](https://opetus.tv/files/uploads/maa7-02-funktion-kasvavuus-ja-vahenevyys-150x150.jpg)
![Funktion kasvavuus ja vähenevyys, tulostusversio Funktion kasvavuus ja vähenevyys, tulostusversio](https://opetus.tv/files/uploads/maa7-02-funktion-kasvavuus-ja-vahenevyys_bw-150x150.jpg)
Polynomifunktioiden aito kasvavuus ja vähenevyys
Käsitellään aitoa kasvavuutta tuttujen 1. ja 2. asteen polynomifunktioiden näkökulmasta, ts. millä ehdolla nämä funktiot ovat aidosti kasvavia/väheneviä. Osaatko tähän asti osaamasi perusteellä päätellä lopputuloksen?
![Polynomifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys Polynomifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys](https://opetus.tv/files/uploads/maa7-02b-polynomifunktioiden-kasvavuus-ja-vahenevyys-150x150.jpg)
![Polynomifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys, tulostusversio Polynomifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys, tulostusversio](https://opetus.tv/files/uploads/maa7-02b-polynomifunktioiden-kasvavuus-ja-vahenevyys_bw-150x150.jpg)
Potenssifunktioiden kasvavuus ja vähenevyys
Tutkitaan potenssifunktioiden $f(x) = x^n$ kasvavuutta ja vähenevyyttä. Näitä tietoja voidaan hyödyntää esimerkiksi epäyhtälöitä ratkaistaessa. Mikäli $n \in 1, 3, 5, \ldots$ on funktio $f$ aidosti kasvava. Jos taas $n \in 2, 4, 6, \ldots$ on funktio $f$ aidosti vähenevä, kun $x<0$ ja aidosti kasvava kun $x>0$.
Esimerkki: aidon kasvavuuden hyödyntäminen epäyhtälön ratkaisussa
Ratkaistaan epäyhtälö $x^6 < (-2x+3)^3$ hyödyntämällä potenssifunktion $x^3$ aitoa kasvavuutta ja havainnollistetaan sen jälkeen tilannetta vielä GeoGebra-ohjelmalla.
![Kasvavuuden hyödyntäminen ey-ratkaisussa Kasvavuuden hyödyntäminen ey-ratkaisussa](https://opetus.tv/files/uploads/maa7-02d-esimerkki-kasvavuus-epayhtalon-ratkaisussa-150x150.jpg)
![Kasvavuuden hyödyntäminen ey-ratkaisussa, tulostus Kasvavuuden hyödyntäminen ey-ratkaisussa, tulostus](https://opetus.tv/files/uploads/maa7-02d-esimerkki-kasvavuus-epayhtalon-ratkaisussa_bw-150x150.jpg)
Hei, pitäisikö 1. videon kohdassa 7:10 olla X1 > X2?
Moikka, ei pitäisi, videossa on ihan oikein. Eli vähenevä funktio on sellainen, jossa syötteiden kasvaminen aiheuttaa funktion arvojen pienenemisen (tai korkeintaan, että funktion arvot eivät suurene, ts. voivat pysyä samoina).
Moi,
Koskien videota 4: Eikö x^6 kuvaaja ole u-mallinen ja siten ei aidosti kasvava? Kuinka se voi muuttua aidosti kasvavaksi muodossa (x^2)^3?