Ääriarvokohdat kuvaajan näkökulmasta
Etsitään annetuista kuvaajista ääriarvokohtia eli x-akselin kohtia, joita vastaava kuvaajan korkeusarvo on ”lähiympäristön” pienin tai suurin.
Ääriarvokohdat, ääriarvot ja ääriarvopisteet
Tarkastellaan esimerkin avulla käsitteitä ääriarvokohta, ääriarvo, maksimikohta, maksimi(arvo), minimikohta, minimi(arvo), ääriarvopiste, maksimipiste ja minimipiste. Tehdään tarkastelu kaikkialla jatkuvan ja derivoituvan polynomifunktion näkökulmasta ja esitetään samalla asian yhteys kulkukaavioon.
Ääriarvoesimerkki polynomifunktiolle
Tarkastellaan polynomifunktiota $f(x) = \tfrac{1}{3}x^3+x^2-3x$ ensin koko reaalilukujoukossa ja sitten suljetulla välillä $[-2,2]$. Määritetään ääriarvokohdat ja ääriarvot sekä näiden avulla ääriarvopisteet.
Rationaalifunktion ääriarvot (esimerkki)
Ratkaistaan rationaalifunktion $f(x) = \dfrac{3x^2-x+\tfrac{4}{3}}{3x-1}$ ääriarvot.
Mikä on tämä piirustusohjelma? 🙂 Kiitos muuten valtavasti opetusvideoistasi.
Periaatteessa mikä tahansa kuvankäsittelyohjelma käy 🙂
Olen yrittänyt tsempata ja auttaa pikkusiskoani lyhyen matskun YO- kirjoituksia varten. Minulle itselleni jäi kuitenkin hieman derivaatasta hampaankoloon, kun kertasin siinä samalla.
1. Voitko selventää matemaattista käsitettä ”funktion lähiympäristö”, mitä ihmettä tämä oikein tarkoittaa? Minulle ei tule ollenkaan mieleen.
2. Voitko selventää matemaattisia käsitteitä ”lokaali minimi”, ja, ”lokaali maksimi”. Nämä käsitteet tuntuvat täysin järjenvastaisilta kun ajattelee puhekielen näkökulmasta. Vähän niinkuin sanoisin puhekielellä, ”melkein pienin”, ”melkein suurin”. Käsitteet eivät oikein tunnu kuvaavan mitään. Vähän niinkuin sanoisi ”Aapo on kovin jätkä Jämsässä.” Fakta kertoo Aapon kovuudesta, mutta ei oikein kovinkaan tarkasti 🙂
3. Mihin perustuu varsinaisesti ääriarvokohtien päätteleminen funktion kulkukaaviosta ja derivaatan merkkikaaviosta? Mistä voit tietää, että onko kyseessa globaali maksimi, tai vain lokaali maksimi?
4. Tiedän ja ymmärrän globaalin maksimin ja globaalin minimin käsitteen esim. kuvaajasta katsomalla. Mutta, jos tiedetään että funktiolla on sekä globaali maksimi, että globaali minimi. Pystytkö ikäänkuin päättelemään kulku- ja merkkikaaviosta globaalit ääriarvot? Mihin perustuu globaalien ääriarvojen tietäminen? Mistä voit tietää että kyseessä on globaali ääriarvo?
Morjes, tässä vastauksia kysymyksiisi:
1. Jos olen jollain videolla puhunut funktion lähiympäristöstä niin olen sanonut väärin; olen tarkoittanut sillä jonkun muuttujanarvon lähiympäristöä. ”Lähiympäristö” on väljä käsite ja sen merkitys riippuu kontekstista. Esimerkki: alakoulun pihalla on puskutraktorin tekemä suuri lumikinos; lapset leikkivät välitunnilla kukkulan kuningas -peliä; siis jos asiaa tarkastellaan lumikinoksen korkeimman kohdan näkökulmasta niin valittaessa tarkastelun ”lähiympäristöksi” koulun piha, on lumikinoksen huippu korkein kohta siinä lähiympäristössä (muttei todennäköisesti koko kaupungin näkökulmasta). Se mikä katsotaan globaaliksi maksimiksi riippuu siitä mikä ajatellaan ”koko tarkasteluympäristöksi”, joka voi tietty olla vain se koulun piha, mutta myös kaupunginosa, kaupunki, kunta, Suomi, jne.
2. Lokaali maksimi/minimi tarkoittaa korkeinta/matalinta kohtaa jonkun valitun ”lähiympäristön” suhteen. Tämä tuli vastattua välillisesti jo edellä, mutta tarkoittaa siis juuri tuota kuten sanoit, ”Aapo on kovin jätkä Jämsässä.” tai Salla on korkein tunturi/vuori Suomessa (globaali maksimi), mutta Rukatunturi on myös aika korkea (lokaali eli paikallinen maksimi Suomen näkökulmasta). Kyse on siis paljolti siitä mikä valitaan globaaliksi tarkasteluympäristöksi missäkin tilanteessa.
3. Teknisimmillään jatkuvien funktioiden tapauksessa se perustuu Bolzanon lauseeseen eli siihen, että jos funktio saa jossain positiivisia ja jossain negatiivisia arvoja ja jos se on jatkuva niin se saa arvon nolla väistämättä jossain em. kohtien välissä (vähintään kerran). Kun tätä sovelletaan derivaattafunktioon niin päädytään siihen, että derivaattafunktiolla täytyy olla nollakohta. Derivaatta taas kuvaa funktion kulkua; kuvittele hiihtäjä hiihtämään funktion kuvaajaa pitkin vasemmalta oikealle: jos sukset osoittavat alaviistoon, on derivaatta negatiivinen ja jos yläviistoon niin positiivinen. Jos nyt hiihdetään ensin alamäkeen (derivaatta negat) ja sitten kohta ylämäkeen niin hetken aikaa sukset olivat välissä vaakasuorassa ja oltiin ”laakson pohjalla”. Tuo kyseinen laakson pohja saattoi olla hiihtoreitin matalin kohta tai sitten ei, mutta se oli joka tapauksessa jonkun pienen lähiympäristön (esim. viimeisen hiihdetyn 50m) matalin kohta eli siis vähintään lokaali minimi jos ei globaali minimi. Vastaavasti maksimeille.
4. Globaali vs. lokaali -tarkastelu tehdään yleensä niin, että etsitään kaikki lokaalit minimit (vastaavasti maksimit) esim. derivaattaa hyödyntämällä ja sitten lasketaan funktion arvo niissä muuttujan kohdissa, jotka oli todettu olevan minimejä (vastaavasti maksimeja) ja katsotaan olisiko joku niistä kaikista pienin (vastaavasti suurin).
Aihepiirin laajennus: Kuvastahan tuon edellisen asian näkee sinänsä helpohkosti, mutta näiden hyöty tulee enemmän sitten kun mennään sellaisiin optimointiongelmiin, joissa kuvaajat on kaksiulotteisin sijaan esim. 5-, 20 tai jopa 10000-ulotteisia. Silloin on vähän vaikea katsoa vaan kuvasta kun kuvaa ei voi edes piirtää. Ja sitten voi tietysti kysyä, että ”mikä ihmeen 10000-ulotteinen?”, eihän voi olla kuin 3D, mutta fakta on se, että esim. puheentunnistus, kuvantunnistus ja mm. Google Translate perustuvat juuri tuollaisiin suuriulotteisiin optimointeihin. Tuossa ilmaus ”n-ulotteinen” tarkoittaa sitä mikä on funktioon sisään menevien muuttujien ja sieltä ulos tulevien muuttujien lukumäärien summa; se on se funktion ulottuvuus (eli dimensio). Tutuissa koulufunktioissa sisään menee yksi reaaliluku ja ulos tulee yksi reaaliluku (esim. f(x) = 2x), joten kuvaaja on 1+1=2 -ulotteinen. Muuttujia voi kuitenkin helposti olla paljon enemmän kuin yksi, esim. jos olet ostamassa asuntoa niin muuttujia ovat esim. pinta-ala, huoneiden lukumäärä, kerrosten lukumäärä, kaupunginosa, hinta, kunto, tulevat remontit ja varmaan muutakin keksii nopeasti. Siitä voisi sitten rakentaa vertailufunktion, joka kertoo yhden arvon ulos ja mitä suurempi arvo niin sitä parempi sopivuus omaan tarpeeseen, mitä se sopivuus sitten milloinkin tarkoittaakaan.
kiitos hyvistä vastauksista kysymyksiini. Ainakin 1-3 kysymykseni tulivat hyvin selviksi ainakin itselleni. En tiedä kuinka hyvin meni siskolle perille. Välillä jos auttaa jotakuta matikassa niin joutuu itsekin pähkäilemään että mihinkä oikeastaan perustuu jonkin matemaattisen asian tietäminen ja olettaminen (juurikin tuo Bolzanon lause).
Bolzanon juttua ei meille opetettu koskaan eriikseen, varsinkaan näin hyvin selitettynä ja esilletuotuna, se on kuitenkin ”maalaisjärkeenkäypä” asia. Se olikin lähinnä meille aikanaan lukiossa piilotettu opetussisältöihin. Mutta on tietty mukava kuulla että joku keksi aikanaan tuonkin asian !!! xD
” Tsemppiä huomiseen matikan YO-kokeeseen! :)!” Ei louhduta :Dddd