Lyhyesti sanottuna jatkuvuudessa on lukiomielikuvana kyse siitä voiko funktion kuvaajan piirtää niin, että kynää ei tarvitse nostaa paperista kuin korkeintaan sellaisissa kohdissa, joissa funktio ei ole määritelty.
Johdanto jatkuvuuteen (Eurotunneli)
Johdanto funktion jatkuvuuteen Englannin ja Ranskan välillä kulkevan junatunnelin rakentamista esimerkkinä hyödyntäen.
Muumipeikko ja funktion jatkuvuus
Muumipeikko tutkii talviunesta herättyään Muumilaakson lämpötilaa. Niisku taas tutkii Muumipeikon innostuneisuuden määrää, kun Muumipeikko odottaa Nuuskamuikkusta palaavaksi matkoiltaan.
Jatkuvuuden määritelmä
Määritellään funktion jatkuvuus kohdassa (eli että raja-arvo on yhtä suuri kuin funktion). Lisäksi käsitellään funktion jatkuvuutta joukossa sekä sitä että vakiofunktiot, polynomifunktiot, rationaalifunktiot sekä jatkuvia funktioita sisältävät itseisarvofunktiot ovat jatkuvia aina silloin kuin ne ovat määriteltyjä.
(Funktion jatkuvuuden tarkempi epsilon-delta -määritelmä ei kuulu lukion oppimäärään.)
Muistiinpanot
Perustelu polynomi- ja rationaalifunktioiden jatkuvuudelle
Tarkastellaan hiukan tarkemmin miksi esimerkiksi kaikki polynomifunktiot ja rationaalifunktiot ovat jatkuvia (määrittelyjoukossaan). Tätä videota tarkempi jatkuvuuden (epsilon-delta-) perustelu ei kuulu lukion oppimäärään.
Muistiinpanot
Millainen se delta-epsilon-perustelu olisi, onko se hankalasti ymmärrettävä? Osaisitko kertoa joitain hyviä lähteitä joiden avulla voisin tutkia? Kiitos.
Morjes, kiitos kysymyksestä 🙂 Ensinnäkin täytyy pitää mielessä, että jatkuvuus on pisteittäinen ominaisuus. Jos sanotaan funktion olevan jatkuva, tarkoitetaan, että se on jatkuva kaikissa (äärettömän monessa) määrittelyjoukkonsa pisteessä.
Sitten siihen epsilon-deltaan (mieti kuvaajaa, valitse mieleisesi funktio, vaikka f(x)=x^2, ja tarkastelukohta, vaikka x=4):
Funktion jatkuvuuden epsilon-delta -määritelmän ideana on, että sä kerrot mulle ”korkeuspoikkeaman” (epsilon, ε>0) ja mun pitää sitten vastata siihen kertomalla korkeuspoikkeamasta ε riippuva ”sivusuuntainen poikkeama” (delta, δ>0) niin, että kun otetaan 2ε:n korkuinen ja 2δ:n levyinen ”putki” niin funktion kuvaaja ei karkaa putken katosta tai lattiasta ulos ainakaan 2δ:n levyisellä matkalla. (Syy miksi putken korkeus on 2ε on se, että se on ”keskilinjasta” ε:n verran ylös- ja alaspäin. Samoin δ:n suhteen; ks. alemana linkkien takaa löytyvät kuvat.)
Kappaleen alussa valituilla arvoilla siis pitää olla voimassa, että funktion arvo x-akselin väliltä [4-δ, 4+δ] otetuilla syötteillä täytyy pysyä välissä [f(4)-ε, f(4)+ε]. (Edellä merkintä [a,b] tarkoittaa suljettua väliä; ensimmäinen käyttökerta viittaa x-akselilta katsottuun väliin ja jälkimmäinen y-akselilta katsottuun.)
Nyt jos edellä kuvattu ”ei karkaa putken katosta tai lattiasta” -järjestely onnistuu kaikilla ε > 0 (eli ts. mielivaltaiselle ε > 0 voidaan löytää sopiva ε:sta riippuva δ), niin tällöin sanotaan funktion olevan jatkuva kyseisessä tarkastelukohdassa (esimerkin kohta oli x=4).
Lisäselitystä voi lukea aiheesta esimerkiksi Jyväskylän yliopiston proffa Tero Kilpeläisen Analyysi 1 -opetusmateriaalista määritelmästä 5.3. (sivu 57): http://users.jyu.fi/~terok/opetus/analyysi1/analyysi1.pdf
Myös esim. englanninkielisestä Wikipediasta löytyy suht. ok selitys raja-arvosta (ja sama päättely käy myös jatkuvuudelle kun muistetaan jatkuvuuden tarkoittavan toisaalta, että raja-arvo ja funktion arvo ovat yhtä suuret): http://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-definition_of_limit
Huomaa lisäksi, että esim. Wikipedian ”Jatkuva funktio” -sivulla (http://fi.wikipedia.org/wiki/Jatkuva_funktio) vastaava epsilon-delta -tarkastelu on esitetty suht. haastavasti n-ulotteisten topologisten avaruuksien kautta (mikä on sinänsä täysin pätevää ja eleganttia), mutta voi olla vähän turhan vaikeaselkoista luettavaa siinä vaiheessa kun tutustuu epsilon-delta -esityksiin ensimmäistä kertaa.
Menestystä opintoihin toivottaen 🙂
-Janne
Terve,
Pitkän matematiikan Deriivaatta-kurssin kirjassa on tehtävä 84, joka ei millään tahdo aueta. Siinä siis kysytään, missä kohdissa funktio on jatkuva,
A-kohdassa annettu seuraavat tiedot: f(x) = 1, kun x on rationaaliluku ja 0, kun x irrationaaliluku.
B-kohdassa f(x) = x, kun x on rationaaliluku ja 0, kun x on irrationaaliluku.
Miten tuota kannattaa lähteä ratkomaan/päättelemään?
Vastaus A-kohdassa on, että funktio ei ole jatkuva missään. Näin on tarkkaan ottaen siksi, että tuo alempana esittämäni epsilon-delta -tarkastelu ei onnistu missään kohdassa. Kansantajuisemmin asiaa voi miettiä niin, että miettii voiko funktion kuvaajan piirtää nostamatta kynää irti paperista missään muualla kuin sellaisissa kohdissa, joissa funktio ei ole määritelty
B-kohdassa funktio taitaisi olla jatkuva kohdassa x=0 siksi, että em. epsilon-delta -valinta on jopa aika suoraviivainen eli oli ε mikä tahansa pieni positiivinen luku niin valitaan vaikkapa δ=ε/2 niin varmasti kuvaaja jää kokonaisuudessaan ”putken” sisään nimenomaan origossa (mutta ei missään muualla).
Sun muumipeikkoesimerkki oli ehkä paras opetusvideo koskaan! Oon nyt vetäny melkeen pelkästään sun videoilla pitkän matikan kurssit 1-5 ja keskiarvo niistä on 8,5 🙂 KIITOS!
Kiitos, ja erittäin jees, keep going! 🙂