(Tämä tehtävä oli vuonna 1945 käytössä lukion lyhyen matematiikan kokeessa.)
Tehtävänanto
Minkä toisen asteen yhtälön juurina (eli ratkaisuina/nollakohtina) ovat yhtälön $x^2-x+3=0$ ratkaisujen kuutioiden (eli kolmansien potenssien) käänteisluvut?
Vinkki: Annetulla yhtälöllä ei ole yhtään reaalista ratkaisua. Tämä ei kuitenkaan haittaa ja tehtävä on mahdollista ratkaista ilman kompleksilukuja.
Ratkaisu
Tämä on perussisällöllisesti sama ratkaisu, mutta ehkä hiukan suoraviivaisempi:
Olkoot t ja r alkuperäisen yhtälön juuret. Tällöin pätee 3=t*r ja -1=-t-r. Olkoon b halutun yhtälön ensimmäisen asteen kerroin ja olkoon c halutun yhtälön vakiotermi. Tällöin b=-1/t^3-1/r^3 ja c=1/(t^3*r^3). Tällöin c saadaan ratkaistua ensimmäisestä ehdosta:
3=t*r => 1/27=1/(t^3*r^3)=c
Toisaalta:
b=-1/t^3-1/r^3=-(t^3+r^3)/(t^3*r^3)=-(t^3+r^3)/27=-((1-r)^3+r^3)/27
=-(1-3*r+3*r^2-r^3+r^3)/27=-(1-3*r+3*r^2)/27=-1/27-3*(r^2-r^2)/2
=-1/27+r*(1-r)/9=-1/27+3*t/(t*9)=-1/27+3/9=8/27
Siis haluttu yhtälö on:
x^2+(8/27)*x+1/27=0
Hups, tuli virhe: kohta -1/27-3*(r^2-r^2)/2 tulisi olla -1/27-3*(r^2-r)/2