Vko 3-4/2013 – Yhtälönratkaisua vuodelta 1945

(Tämä tehtävä oli vuonna 1945 käytössä lukion lyhyen matematiikan kokeessa.)

Tehtävänanto
Minkä toisen asteen yhtälön juurina (eli ratkaisuina/nollakohtina) ovat yhtälön $x^2-x+3=0$ ratkaisujen kuutioiden (eli kolmansien potenssien) käänteisluvut?

Vinkki: Annetulla yhtälöllä ei ole yhtään reaalista ratkaisua. Tämä ei kuitenkaan haittaa ja tehtävä on mahdollista ratkaista ilman kompleksilukuja.

Ratkaisu

2 vastausta artikkeliin “Vko 3-4/2013 – Yhtälönratkaisua vuodelta 1945”

  1. joku

    Tämä on perussisällöllisesti sama ratkaisu, mutta ehkä hiukan suoraviivaisempi:
    Olkoot t ja r alkuperäisen yhtälön juuret. Tällöin pätee 3=t*r ja -1=-t-r. Olkoon b halutun yhtälön ensimmäisen asteen kerroin ja olkoon c halutun yhtälön vakiotermi. Tällöin b=-1/t^3-1/r^3 ja c=1/(t^3*r^3). Tällöin c saadaan ratkaistua ensimmäisestä ehdosta:
    3=t*r => 1/27=1/(t^3*r^3)=c
    Toisaalta:
    b=-1/t^3-1/r^3=-(t^3+r^3)/(t^3*r^3)=-(t^3+r^3)/27=-((1-r)^3+r^3)/27
    =-(1-3*r+3*r^2-r^3+r^3)/27=-(1-3*r+3*r^2)/27=-1/27-3*(r^2-r^2)/2
    =-1/27+r*(1-r)/9=-1/27+3*t/(t*9)=-1/27+3/9=8/27
    Siis haluttu yhtälö on:
    x^2+(8/27)*x+1/27=0

    Vastaa
    • joku

      Hups, tuli virhe: kohta -1/27-3*(r^2-r^2)/2 tulisi olla -1/27-3*(r^2-r)/2

      Vastaa

Jätä vastaus

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>