Tehtävänanto
Jos juhlissa kaikki vieraat kättelevät toisiaan ja kättelyitä tapahtuu yhteensä 231, montako vieraita on?
Ratkaisu
Ratkaisu löydetään miettimällä montako erilaista paria v vieraan joukosta voidaan muodostaa. Ajatellaanpa, että valitaan kaksi vierasta kättelemään. Monellako tavalla ensimmäiseen vieras (A) voidaan valita? v eri tavalla. Entä kun ensimmäinen vieras on valittu, monellako tavalla toinen (B) voidaan valita? (v-1) eri tavalla.
Tällöin kuitenkin kättelyiden määrä saadaan kaksinkertaisena, sillä tullaan huomioineeksi tilanteet, jossa A valitaan ensin ja sitten B; ja toisaalta tilanne, jossa B valitaan ensin ja sitten A. Näin ollen jaetaan edellä saatu tulos kahdella ja näin valintajärjestyksen vaikutus (joka ei kättelytilanteessa ole merkityksellinen) saadaan eliminoitua.
Koska kättelyitä tapahtui yhteensä 231, on oltava: $\frac{h\cdot(v-1)}{2} = 231$. Kertomalla yhtälön molemmat puolet luvulla 2, saadaan: $v\cdot(v-1) = 462$, joka saadaan edelleen muokattua muotoon $v^2-v-462=0$. Muodostuneen 2. asteen yhtälön ratkaisuiksi saadaan v=22 ja v=-21. Näistä tehtävänanto huomioiden ainoa järkevä vastaus on v=22.
Vastaus: vieraita on 22.
