Vko 16/2013 – Vieraat kättelevät

Tehtävänanto
Jos juhlissa kaikki vieraat kättelevät toisiaan ja kättelyitä tapahtuu yhteensä 231, montako vieraita on?

Ratkaisu
Ratkaisu löydetään miettimällä montako erilaista paria v vieraan joukosta voidaan muodostaa. Ajatellaanpa, että valitaan kaksi vierasta kättelemään. Monellako tavalla ensimmäiseen vieras (A) voidaan valita? v eri tavalla. Entä kun ensimmäinen vieras on valittu, monellako tavalla toinen (B) voidaan valita? (v-1) eri tavalla.

Tällöin kuitenkin kättelyiden määrä saadaan kaksinkertaisena, sillä tullaan huomioineeksi tilanteet, jossa A valitaan ensin ja sitten B; ja toisaalta tilanne, jossa B valitaan ensin ja sitten A. Näin ollen jaetaan edellä saatu tulos kahdella ja näin valintajärjestyksen vaikutus (joka ei kättelytilanteessa ole merkityksellinen) saadaan eliminoitua.

Koska kättelyitä tapahtui yhteensä 231, on oltava: $\frac{h\cdot(v-1)}{2} = 231$. Kertomalla yhtälön molemmat puolet luvulla 2, saadaan: $v\cdot(v-1) = 462$, joka saadaan edelleen muokattua muotoon $v^2-v-462=0$. Muodostuneen 2. asteen yhtälön ratkaisuiksi saadaan v=22 ja v=-21. Näistä tehtävänanto huomioiden ainoa järkevä vastaus on v=22.

Vastaus: vieraita on 22.

3 vastausta artikkeliin “Vko 16/2013 – Vieraat kättelevät”

  1. Samuli

    Hauska aivojumppa, mutta enpä paljasta vastausta.

    Vastaa
  2. joku vaan

    eihän tuo ratkaisu vastaa tehtävänantoa, vai kuinka? kun kysymys on, että kuinka monta ihmistä juhlissa on ja vastauksena on kättelyiden määrä…

    Vastaa
    • jcederberg

      Joo, muistin tehtävänannon väärin enkä sitten lukenut sitä enää uudestaan ratkaisua kirjoittaessani 😀 Nyt on ratkaisu korjattu, kiitos kommentista 🙂

      Vastaa

Jätä vastaus

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>