Heinäkuun 2013 pulma – Arpakuutiolla alkulukuja

Tehtävänanto
Valitaan arpakuutiosta kolme tahkoa (kansanomaisesti sivua) niin, että mitkään kaksi valittua tahkoa eivät ole arpakuution vastakkaisilla puolilla. Kirjoitetaan valituille tahkoille luvut 14, 18 ja 35. Kolmelle jäljellä olevalle tahkolle tulee nyt kirjoittaa kolme alkulukua niin, että vastakkaisilla tahkoilla olevien lukujen summa on aina sama.

Ratkaisu

Tehtävän voisi ratkaista ”sokkona” eri arvoja kokeilemalla, mutta lähestytään asiaa hiukan teoreettisemmin. ”Haittana” on, että älynystyröitään joutuu rassaamaan enemmän, mutta toisaalta toivottavasti joudutaan tekemään lopulta vähemmän työtä 🙂

Aluksi pitää tietää mitä alkuluvut ovat. Ensimmäiset 10 alkulukua ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Lukua 1 ei yleensä mielletä alkuluvuksi. Alkuluvut ovat positiivisia kokonaislukuja, jotka ovat jaollisia vain ykkösellä ja itsellään. Jos sinulla on esim. 11 nallekarkkia, ei niitä voi ilman leikkaamista jakaa tasan kuin yhdelle tai 11 ihmiselle; siis luku 11 on alkuluku.

* Tiedetään (tai voidaan selvittää), että

  1. kahden parillisen luvun summa on aina parillinen, esim. 2+4 = 6.
  2. kahden parittoman luvun summa on aina parillinen, esim. 5+7 = 12.
  3. parillisen ja parittoman luvun summa on aina pariton, esim. 2+3 = 5.

Todistetaan lyhyesti ensimmäinen edellä esitetyistä: parillinen luku on aina jaollinen kakkosella (tätä parillisuus tarkoittaa, eli että voidaan jakaa kahteen yhtä suureen ryhmään). Näin ollen parillinen luku on aina kirjoitettavissa muodossa 2s, jollain kokonaisluvulla s. Esim. 10=2·5 ja 16=2·8. Nyt siis kahden parillisen luvun summa on aina kirjoitettavissa muodossa 2s+2r, joillakin kokonaisluvuilla s ja r. Ottamalla kakkonen yhteiseksi tekijäksi saadaan, että 2s+2r = 2(s+r) ja siis kahden parillisen summa on aina jaollinen kakkosella, eli summa on parillinen. Vastaavasti voidaan todistaa kaksi muuta kohtaa, mutta sivuutetaan todistukset tämän esityksen osalta.

Alunperin annetut luvut olivat 14, 18 ja 35. Luvuista kaksi on parillisia ja yksi on pariton. Alkuluvuista taasen vain kakkonen on parillinen ja kaikki loput (3, 5, 7, 11, …) ovat parittomia. Jotta summat 14+x, 18+y ja 35+z voisivat mitenkään olla yhtä suuria, on niiden kaikkien oltava joko parillisia tai kaikkien oltava parittomia.

Koska parillisia alkulukuja on vain kakkonen, on *-kohdan mukaan ainoa vaihtoehto, että z=2. Näin siksi, että jos sekä x, y että z ovat parittomia, eivät arvot 14+x, 18+y ja 35+z voi olla yhtä suuret. Siis joko xy tai z on oltava parillinen. Jos olisi parillinen niin y ja olisivat parittomia (koska vain yksi alkuluvuista, kakkonen, on parillinen) ja tällöin 14+x ja 18+y eivät voisi olla yhtä suuret. Samoin kävisi, jos y olisi parillinen. Siis ainoa vaihtoehto on, että z on parillinen ja siis z=2.

Nyt kun tiedetään, että z=2 niin haluttu summa on 35+z = 35+2 = 37, joten x=37-14=23 ja y=37-18=19.

Vastaus: Arpakuution vastakkaisilla tahkoilla olevat luvut ovat 14 ja 23, 18 ja 19 sekä 35 ja 2.