Tehtävänanto
Kun heitetään tavallista kuusitahkoista reilua noppaa, kumman puolesta kannattaa lyödä vetoa:
- Neljällä nopanheitolla tulee ainakin yksi kutonen vai
- 24 noppaparin heitolla tulee ainakin yksi kutospari?
Todennäköisyys, että neljällä heitolla ainakin yksi kuutonen
Tavallista noppaa neljästi heitettäessä voi ainakin yksi kuutonen tulla todella monella tavalla: 6xxx, x6xx, xx6x, xxx6, 66xx, 6x6x, 6xx6, x6x6, xx66, … Koska erilaisia tapoja saada ainakin yksi kuutonen on monta, on helpompaa laskea millä todennäköisyydellä ei saada yhtään kuutosta ja vähentää tämä sitten 100%:sta. Näin siksi, että tapaus ”ainakin yksi kuutonen” on tapauksen ”ei yhtään kuutosta” vastatapahtuma (tuntuuko oudolta?)
Todennäköisyys, että neljällä nopanheitolla ei tule yhtään kuutosta on $P(\bar{A}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0,\!4823$, missä $\bar{A}$ tarkoittaa ”ei yhtään kuutosta”.
Näin ollen todennäköisyys, että tulee ainakin yksi kuutonen on: $P(A) = 1 – P(\bar{A}) = 1 – \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0,\!5177$, missä A tarkoittaa, että ”tulee ainakin yksi kuutonen”.
Todennäköisyys, että 24 noppaparin heitolla ainakin yksi kuutospari
Kullakin noppaparin heitolla on 1/36 todennäköisyys saada kuutospari ja siis 35/36 todennäköisyys olla saamatta kuutosparia (piirrä taulukko, jossa kuusi riviä ja saraketta niin huomaat). Jos tapahtuma B tarkoittaa ”tulee ainakin yksi kuutospari 24 noppaparin heitolla” niin $P(B) = 1 – P(\bar{B}) = 1 – \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0,\!4914$.
Johtopäätös
Jos siis jomman kumman puolesta haluaa lyödä vetoa, kannattaa valita ainakin yksi kuutonen neljällä heitolla, sillä tämän tapahtuman todennäköisyys on hiukan suurempi.
