Tehtävänanto
Tarinan mukaan intialainen hallitsija mieltyi matemaatikon kehittämään shakki-peliin niin, että lupasi kehittäjälle tämän valitseman kohtuullisen palkkion. Mikä oli matemaatikon palkkiopyyntö? Suhteuta palkkiopyyntö Suomen pinta-alaan.
Ratkaisu
Matemaatikko pyysi palkkioksi riisiä sen määrän, joka muodostuu kun ensimmäiseen shakkilaudan 64 ruudusta laitetaan yksi riisinjyvä, toiseen kaksi, kolmanteen neljä, sitten 8 jne. Eli matemaattisesti esitettynä $2^{n-1}$ jyvää per ruutu ja siis viimeiseen ruutuun $2^{63}$ jyvää. Kun lasketaan yhteen $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{63}$ saadaan geometrisen lukujonon summan kaavalla (tai muuten pyörittelemällä) tulos $2^{64}-1$ riisinjyvää.
Suomen pinta-ala on noin 338 432 km2. Jos oletetaan, että Suomi on pinnanmuodoltaan tasainen ja maailma on pannukakku niin voit laskea kuinka monta metriä korkea patsas riisiä tulee. Yksikkömuunnokset täytyy olla hallussa 🙂
Mutta montako riisinjyvää mahtuu vaikkapa teelusikalliseen?
Hänen pyytämänsä palkkio oli yksi jyvä ensimmäiseltä shakkiruudulta, seuraavalta 2, seur. 4 jne. , eli yhteensä
2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^63
= 2^64 – 1
≈ 1,845 * 10^19
kpl jyviä
En osaa tarkalleen suhteuttaa sitä Suomen pinta-alaan (kuinka paksu kerros jyviä Suomeen tulisi?), mutta määrä on joka tapauksessa aivan käsittämättömän suuri.
Joo, mieti mitä tarvitset tietää paksuuden arvioimiseksi
Jos niitä vehnän- tai riisinjyviä menee desilitraan n. 400 kpl (tuttu on laskenut, tulos hänen muistaaksensa 400), niin em. määrä vaatisi tilaa 4 611 km3. Suomen 338 400 km2:lle levitettynä se tuottaisi keskimäärin 13,6 metrin kerroksen.
Määrä saattaa heittää tuosta jonkin verran, sillä tuo lähtöarvo ei ole tarkka, ja koska jyviä on erilaisia.
Joka tapauksessa Suomen päälle tulisi varmaan toistakymmentä metriä jyviä.
Desilitraan mahtuu riisinjyviä todella paljon enemmän kuin 400; huomaat tämän hyvin pian jos laitat riisiä mitta-astiaan ja alat laskea.
Desilitraan menevien riisinjyvien määrä on suoraan verrannollinen jyväkerroksen paksuus, joten kun tiedetään se, on helppo tuosta sitten laskea myös jälkimmäinen.
Pointtina olikin, että JOS luku on 400, niin…
Jos luku on todellisuudessa vaikka 20 000, niin vastaavasti paksuuskin on 20 000 / 400 kertaa paksumpi, eli 680 m.
Eikä tästä voi lopullaankaan saada tarkkaa vastausta, vaan suuruusluokan, onko kyse kymmenistä vai sadoista metreistä.
Jos laskin oikein, noin metri.
Joo, tota luokkaa, taisin ite saada jotain 1,1m
miksei 2 63-1
Tarkentaisitko kysymystä? Viimeiseen ruutuun tulee kyllä 2^63 riisinjyvää, mutta lopullinen tulos ei ole 2^63-1.
tein virheen, anteeksi. 2 potensiin 63+1. oli tarkoitus kysyä.
2013/12/28 Disqus
Koska jos viimeiseen eli 64:nteen ruutuun tulee 2^63 riisinjyvää niin kun aiemmat 63 ruutua huomioidaan, on niissä väistämättä enemmän kuin yksi riisinjyvä yhteensä. Siksi vastaus ei voi olla 2^63 + 1. Ymmärsinkö kysymyksen oikein?