Vko 21/2013 – Viisi janaa, ei kolmiota

Tehtävänanto
Piirrä viisi janaa siten, että valittiinpa niistä mitkä tahansa kolme, ei valituista janoista voi muodostaa kolmiota. Janoja saa siirtää ja kiertää. Oleellisia ovat siis vain janojen pituudet.

Ratkaisu
Esimerkiksi Fibonaccin lukujonon 1, 1, 2, 3, 5 ($a_1=1, a_2=1$ ja $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, kun $n\geq 3$) mukaiset jananpituudet toteuttavat halutut ehdot. Tällöin tosin voidaan muodostaa pinta-alaltaan nollan suuruisia kolmioita (esim. jos janojen pituudet ovat 2, 3 ja 5), mutta tällaisia ei sinänsä haettu. Jos kyseinen ongelma halutaan kiertää, valitaan esim. jananpituudet 1, 1, 3, 5 ja 9.

Monia muitakin ratkaisuja on, esim. 1, 2, 4, 8 ja 16. Oleellista on, että valittiinpa mitkä tahansa kolme janaa (tai janan pituutta), on aina oltava totta että näistä kolmesta jokainen on lyhyempi kuin kahden muun janan pituuksien summa.

11 vastausta artikkeliin “Vko 21/2013 – Viisi janaa, ei kolmiota”

  1. Aku506

    Ymmärsinköhän oikein? Vaikeampaa olisi piirtää janat niin, että niistä saisi muodostettua kolmion.

    Vastaa
    • Janne (Opetus.tv)

      Eihän ole vaikeempi: kaikki janat vaikka saman pitusia 😉

      Vastaa
      • Joel

        No koska janoja saa siis ilmeisesti kääntää ja siirtää, niin niistä voi ilman muuta muodostaa tasasivuisen kolmion.

        Mielestäni ainoa oikea vastaus on, että janojen pituuseroista tehdään liian suuria kolmion muodostamiseen, kuten Akun ratkaisussa.

        Vastaa
    • Janne (Opetus.tv)

      Aa, nyt ymmärsin mitä tarkotit; janoja saa siis siirtää, oleellisia ovat pituudet

      Vastaa
      • Aku506

        Aaa. Se selittääkin. Ja ilmeisesti myös kääntää?

        Vastaa
          • Aku506

            Sitten vastaukseni on se, että jokainen seuraava jana on kaksi kertaa edellisen pituinen. Paperimallinnuksen mukaan ei onnistu. Matemaattisemmin en nyt jaksa pohtia.

          • muhis

            Oletetaan, että x > 0. Olkoot sitten tarkasteltava janat, joiden pituudet ovat x, 2x, 4x, 8x ja 16x. Näistä aina seuraava on kaksi kertaa edellisen pituinen.

            Valitaan janat pituuksiltaan x, 2x ja 4x. Näistä voidaan
            muodostaa kolmio, sillä 4x > x + 2x = 3x.

            Näin ollen ratkaisusi ei näytä kelpaavan.

          • Aku506

            En nyt aivan ymmärtänyt mistä tuo sinun kaavasi tulee. Olen edelleen (tietokonemallinnukseni) perusteella sitä mieltä, ettei tuo onnistu. Eikö kolmannen janan (x) pitäisi olla pituuksien 1 ja 2 kohdalla 1<x<3? Itse en ainakaan onnistunut muodostamaan kolmiota muuten kuin tuolta pituusväliltä.

          • muhis

            Aivan oikeassa olet. Kolmiossa siis pitää aina kahden sivun pituuksien summan olla enemmän kuin kolmannen sivun pituuden, joten esim. tuota kolmiota ei ole olemassa, jota käytin äsken esimerkkinä.

          • Janne (Opetus.tv)

            Eli toisella tavalla sanottuna: pisimmän sivun pituuden on aina oltava vähemmän kuin kahden muun sivun pituuksien summan

Jätä vastaus artikkeliin Aku506

Napsauta peruuttaaksesi vastauksen.

XHTML: Voit käyttää näitä HTML-tageja: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>