Elokuun pulmatehtävä kuului näin: sinulla on vaihtoehtoina heittää joko yksi vapaaheitto sisään, tai kolmesta heitosta kaksi. Molemmissa vaihtoehdoissa palkinto on 1000 €. Kumman valitset?
Ratkaisu
Oletetaan, että yksittäisen heiton onnistumistodennäköisyys on $p \in [0,1]$ eli $p$ on nollan ja yhden välissä (0% – 100%). Tällöin ohiheiton todennäköisyys yksittäisessä heitossa on $(1-p)$ eli komplementin todennäköisyys. Se kumpi kannattaa valita, yksi heitto vaiko kolme, riippuu siitä kuinka hyvä heittäjä on. ”Huonon heittäjän” kannattaa varmaankin heittää vain kerran, hyvän kolme. Mieti miksi näin. (Toisaalta, mitä tarkoittaa ”huono heittäjä”, ts. missä menee raja hyvän ja huonon välillä tämän tilanteen näkökulmasta? Siihen vastataan alla.)
Jos heittää kerran
Heitto onnistuu todennäköisyydellä $p$ ja tällöin voittaa 1000 €. Vastaavasti heitto epäonnistuu todennäköisyydellä $(1-p)$ ja tällöin voitto on 0 € (olettaen, että kilpailuun osallistuminen ei maksanut mitään). Odotusarvo yhdellä heitolla saadulle voitolle on siis $p\cdot 1000 + (1-p)\cdot 0 = 1000p$ euroa. Tämän laskun kannalta kolmen heiton tilanteeseen verrattaessa riittää kuitenkin tarkastella vain voiton todennäköisyyttä $p$ johtuen siitä, että molemmissa palkintosummat ovat samat (eli odotusarvon käsitettä ei tarvita, vaikkakin sitä voi halutessaan hyödyntää).
Jos heittää kolmesti
Erilaisia lopputuloksia on nyt 8 (= 2³). Näin siksi, että kukin heitto voi mennä sisään tai ohi (2 vaihtoehtoa) ja heittoja toistetaan kolmesti (ja oletetaan, ettei onnistumisen todennäköisyys muutu heittojen välissä, eli heittäjä on joka heitolla yhtä hyvä). Suotuisia tapauksia on 4 (kombinaatio: 3:sta voi valita 2 neljällä eri tavalla, 3 yli 2). Taulukoidaan eri tilanteet:
| 1. heitto sisään | 2. heitto sisään | 3. heitto sisään | Suotuisa tapaus | Todennäköisyys |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | ei | $(1-p)^3$ |
| 1 | 0 | 0 | ei | $p\cdot (1-p)\cdot(1-p)$ |
| 0 | 1 | 0 | ei | (oleellisesti sama kuin yllä) |
| 0 | 0 | 1 | ei | (oleellisesti sama kuin yllä) |
| 1 | 1 | 0 | kyllä | $p\cdot p\cdot (1-p) = p^2(1-p) = p^2-p^3 =: a$ |
| 1 | 0 | 1 | kyllä | $p\cdot(1-p)\cdot p = \ldots = p^2-p^3 =: a$ |
| 0 | 1 | 1 | kyllä | $(1-p)\cdot p \cdot p = \ldots = p^2-p^3 =: a$ |
| 1 | 1 | 1 | kyllä | $p\cdot p\cdot p = p^3$ |
Ensimmäisellä neljällä rivillä voitettaisiin kullakin 0 € (koska ei saatu vähintään kahta heittoa sisään). Jätetään nämä huomiotta. (Ei-voittamisen todennäköisyys on voittamisen todennäköisyyden komplementti.)
Merkitään kirjoittamisen lyhentämiseksi lauseketta $p^2-p^3$ tilapäisesti lyhyemmmin kirjaimella $a$.
Todennäköisyyden yhteenlaskusäännön nojalla voiton todennäköisyys on kolmen heiton tilanteessa em. taulukosta lukien $a+a+a+p^3 = 3a+p^3$. Kun nyt muuttujan $a$ tilalle vaihdetaan alkuperäinen $p^2-p^3$ saadaan $3(p^2-p^3)+p^3 = 3p^2-3p^3+p^3 = 3p^2-2p^3$.
Lähes valmista…
Mikä siis on raja ”huonon” ja ”hyvän” heittäjän välillä tämän tilanteen näkökulmasta? Yhden heiton voittotodennäköisyys oli $p$, kolmen heiton taas $3p^2-2p^3$. Ratkaisemalla yhtälön $p = 3p^2-2p^3$ (esim. yhteisen tekijän, tulon nollasäännön ja 2. ast. ratkaisukaavan avulla) saadaan ainoaksi välillä $[0,1]$ olevaksi ratkaisuksi $p = 0,5$.
Yhteenveto
Voit vielä piirtää lausekkeista $p$ ja $3p^2-2p^3$ kuvaajat vaikkapa laskimella väliltä $[0,1]$ (vaihda muuttujaksi $x$ kuvaajanpiirtoa varten) niin huomaat seuraavan, eli jos odottaa heittävänsä yksittäisen heiton sisään…
- …alle 50% todennäköisyydellä, kannattaa heittää vain kerran.
- …juuri 50% todennäköisyydellä, ei väliä kumman valitsee.
- …yli 50% todennäköisyydellä, kannattaa heittää kolme heittoa.
Ps. Tämä tehtävä on yet another Google-työhaastattelutehtävä 🙂
Mielestäni malliratkaisu on vastoin tehtävänantoa. Tehtävänannossa sanotaan sanatarkasti ”joko yksi vapaaheitto sisään, tai kahdesta heitosta kolme”. Kahdella heitolla on ilmeisen mahdotonta tehdä kolmea koria.
😀 oops, tullut typo tetävänantoon 🙂 kiitos!